#高斯消元法#bzoj 1013 洛谷 4035 球形空间产生器

本文探讨了给定n+1个点时,寻找与这些点距离相等的点坐标的数学问题。通过分析,将问题转化为求解线性方程组,并使用高斯消元法求得答案。附带提供了C++实现代码。

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题目

给定n+1个点,问与这些点距离相等的点的坐标


分析

那么这道题也就是问如何使∑j=0n(ai,j−xj)2=K\sum_{j=0}^{n}(a_{i,j}-x_j)^2=Kj=0n(ai,jxj)2=K
那么也就是∑j=1n2(aij−ai+1,j)xj=∑j=1n(ai,j2+ai+1,j2)\sum_{j=1}^n2(a_{ij}-a_{i+1,j})x_j=\sum_{j=1}^n({a_{i,j}}^2+{a_{i+1,j}}^2)j=1n2(aijai+1,j)xj=j=1n(ai,j2+ai+1,j2)
那么这个东西就可以表示为线性方程组,然后用高斯消元求出答案


代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#define rr register
using namespace std;
int n; double a[12][12],b[12],c[12][12];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for (rr int i=1;i<=n+1;++i)
	for (rr int j=1;j<=n;++j) scanf("%lf",&a[i][j]);
	for (rr int i=1;i<=n;++i)
	for (rr int j=1;j<=n;++j){
		c[i][j]=2*(a[i][j]-a[i+1][j]);
		b[i]+=a[i][j]*a[i][j]-a[i+1][j]*a[i+1][j];
	}
	for (rr int i=1;i<=n;++i){
		for (rr int j=i;j<=n;++j)
		if (fabs(c[j][i])>1e-8){//一旦系数不为0就交换
			for (rr int k=1;k<=n;++k) swap(c[i][k],c[j][k]);
			swap(b[i],b[j]);
		}
		for (rr int j=1;j<=n;++j){//加减消元
			if (i==j) continue;
			rr double elim=c[j][i]/c[i][i];
			for (rr int k=i;k<=n;++k) c[j][k]-=c[i][k]*elim;
			b[j]-=b[i]*elim;
		}
	}
	for (rr int i=1;i<=n;++i)
	    printf("%.3lf%c",b[i]/c[i][i],i==n?10:32);
	return 0;
}
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