19、利用 h 缩放和动态边界投影优化马尔可夫种群过程近似

利用 h 缩放和动态边界投影优化马尔可夫种群过程近似

1. 缩放动态边界投影

将 h 缩放与动态边界投影（DBP）相结合，假设过程 X 在状态空间 $S \subseteq N^m$（不一定有限）上演变，且参数为 $n \in N^m$ 的 DBP 可应用于 X，得到包含 $N(n) + m$ 个方程的系统。
为了减少近似方程的数量，我们用更粗的网格覆盖截断区域 $T(n, y)$ 内的状态空间部分，定义截断区域：
$T^h(n, y) = {x = y + h(k_1e_1 + \ldots + k_me_m) | k_i \in N \forall i = 1, \ldots, m} \cap H(T(n, y))$
$T^h(n, y)$ 中的状态不一定在 $S^h$ 中（除非 $y \in S^h$），且对于任意 $y$，$T^h(n, y)$ 有 $N^h(n) = \prod_{i = 1}^{m} (\lfloor\frac{n_i}{h}\rfloor + 1) \leq N(n)$ 个状态，这意味着缩放 DBP 中的方程数量减少了 $\frac{1}{h^m}$ 倍。
参数为 $n$ 和 $h$ 的缩放 DBP 方程如下：
$\frac{dY^{(n,h)}}{dt} = \sum_{l \in L} \sum_{x \in \partial T^h_l(n,0)} Y^h_l(n, x) \frac{1}{h} \beta_l(x + Y^{(n,h)}(t)) P^{(n,h)}(x; t)$
$\frac{dP^{(n,h)}}{dt} = Q^{(n,h)}(Y^{(n,h)}(t)) P^{(n,h)}(\cdot, t)$