19、减少计算量：Markov 种群过程的 h 缩放与动态边界投影方法

减少计算量：Markov 种群过程的 h 缩放与动态边界投影方法

1. 缩放动态边界投影

将 h 缩放与动态边界投影（DBP）相结合，可减少近似方程的数量。假设过程 X 在状态空间 (S \subseteq N^m) 上演化，DBP 参数为 (n \in N^m)，应用于 X 可得到包含 (N(n) + m) 个方程的系统。

为了用更粗的网格覆盖截断 (T(n, y)) 内的状态空间部分，定义截断：
[T^h(n, y) = {x = y + h(k_1e_1 + \cdots + k_me_m) | k_i \in N, \forall i = 1, \cdots, m} \cap H(T(n, y))]
其中，(T^h(n, y)) 中的状态不一定在 (S^h) 中（除非 (y \in S^h)），且对于任意 (y)，(T^h(n, y)) 有 (N^h(n) = \prod_{i = 1}^{m} (\lfloor\frac{n_i}{h}\rfloor + 1) \leq N(n)) 个状态。这意味着缩放 DBP 中的方程数量减少了 (\frac{1}{h^m}) 倍。

缩放 DBP 参数为 (n) 和 (h) 的方程如下：
[\frac{dY^{(n,h)}}{dt} = \sum_{l \in L} \sum_{x \in \partial T^h_l(n,0)} Y^h_l(n, x) \frac{1}{h} \beta_l(x + Y^{(n,h)}(t)) P^{(n,h)}(x; t)]
[\frac{dP^{(n,h)}}{dt} = Q^{(n,h)}(Y^{(n,h)}(t)) P^{(n,h)}(\cdot, t)] <