13、如何在现代超级计算机上实现快速的Lanczos - Montgomery算法？（上）

如何在现代超级计算机上实现快速的Lanczos - Montgomery算法？（上）

在当今的计算领域，高效地解决线性系统问题是许多科学和工程应用的核心需求。本文将深入探讨在现代超级计算机上实现快速的Lanczos - Montgomery算法的相关内容，包括计算过程、算法原理、实现细节以及性能分析。

1. 计算流程概述

整个计算过程主要分为三个关键步骤：过滤、线性系统求解和平方根计算。
- 过滤 ：于2019年6月使用CADO - NFS库在斯科尔科沃科技学院的Arcuda集群的单节点上进行。总计算成本不到0.1核心年，但单节点需要超过1TB的RAM。经过去重后留下44亿个关系，去除单元素后仅剩下18亿个关系，去除团后关系数量减少到11.5亿个，合并步骤后得到一个大小约为3.17亿且每行平均非零元素数为170的最终矩阵。
- 线性系统求解 ：从2019年12月到2020年1月，在斯科尔科沃科技学院的Zhores超级计算机上使用INM RAS实现的块Lanczos - Montgomery方法进行。计算过程中使用了不同的节点配置（20到40个节点），在38天内得到解。若所有计算都在20个节点上进行，求解将需要47天，总计算成本约为62核心年，其中约90%的时间（约56核心年）用于矩阵块积，这部分时间的21%（约11.5核心年）用于节点间通信，约10%的总时间（约6.2核心年）用于密集运算。
- 平方根计算 ：于2020年2月在谷歌云服务的m1 - megamem - 96实例上使用CADO - NFS库进行。总计算成本不到0.1核心年，但每个平方根的计算需要