37、格罗斯 - 皮塔耶夫斯基方程的推导与量子系统动力学

格罗斯 - 皮塔耶夫斯基方程的推导与量子系统动力学

1. 问题的提出

考虑一个包含无限多个相同粒子的系统，这些粒子通过成对势 $F(\vert q_j - q_k \vert)$ 相互作用。系统的哈密顿算符定义为：
$H_s(q_1, \cdots, q_s) = \sum_{j = 1}^{s} \frac{-1}{2}\Delta_{q_j} + eU(q_1, \cdots, q_s) + \sum_{j < k = 1}^{s} F_{j,k}(\vert q_j - q_k \vert)$
其中，$\Delta_j$ 是拉普拉斯算符，$eU$ 是外场。在本文中，假设 $F_{j,k}(\vert q_j - q_k \vert)$ 是对称的，且 $F_{j,k}(\vert q_j - q_k \vert) = c\delta(\vert q_j - q_k \vert)$，其中 $c > 0$ 为常数。

系统的时间演化由量子 BBGKY 层级描述，其形式如下：
$i\frac{\partial \rho_s(t, q_1, \cdots, q_s, q_1’, \cdots, q_s’)}{\partial t} = [H, \rho] s(t, q_1, \cdots, q_s, q_1’, \cdots, q_s’) + \frac{1}{v} \text{Tr} {q_{s + 1}} \sum_{j = 1}^{s} \left[ F_{j, s + 1}(\vert q_j - q_{s + 1} \vert) - F_{j, s + 1}(\vert q_j’ - q_{s + 1} \vert) \right]