35、普龙尼级数、分数微积分与动力学方程链在物理系统中的应用

普龙尼级数、分数微积分与动力学方程链在物理系统中的应用

分数导数的近似表示

在分数微积分领域，存在对Caputo导数和Atangana - Baleanu导数（ABC）的近似研究。有如下两个近似公式：
- ( {ABCD_t^b}f(t)\approx\frac{B(b)}{(1 - b)}\sum {i = 0}^{N}(1 - a_i)D_{t}^{a_i}f(t)) （式11.95）
- ( {CD_t^b}f(t)\approx\frac{1}{\Gamma(1 - b)}\sum {i = 0}^{N}(1 - a_i)D_{t}^{a_i}f(t)) （式11.96）

在式11.95中，只有前置因子(\frac{B(b)}{(1 - b)})保持不变，因为该近似仅针对记忆核进行处理。这两个近似表明，Caputo导数和Atangana - Baleanu导数都可以近似表示为Caputo - Fabrizio算子的加权和。以下是对这两个近似的简要说明表格：
| 近似公式 | 特点 |
| ---- | ---- |
| 式11.95 | 前置因子特定，针对记忆核近似 |
| 式11.96 | 基于特定结果得出的近似 |

这些近似为分数微积分的研究开辟了新的方向，值得进一步深入研究和分析。

Bagley - Torvik方程

Bagley和Torvik的研究基于Rouse关于稀薄卷曲聚合物有效动态剪切模量的理论。Rouse模型将应力松弛视为衰减指数之和，即(G(t)=\sum_{i = 1}^{N}G_0e^{-\frac{t}