32、分数阶扩散模型下的图灵模式形成分析

分数阶扩散模型下的图灵模式形成分析

1. 系统稳定性与图灵不稳定性

系统的稳定性与特征值的实部密切相关。当所有特征值的实部均为负，且满足特定不等式时，系统的均匀稳态是稳定的。然而，当其中一个特征值的实部为零，而另外两个特征值的实部为负时，系统会出现不稳定性，即图灵不稳定性。

设方程（Eq. 10.7）的根为 (L_1)、(L_2)、(L_3)，则三次方程的根具有以下特征：
- (a_1(\vert k \vert_g) = (L_1 + L_2 + L_3))
- (a_2(\vert k \vert_g) = L_1L_2 + L_2L_3 + L_3L_1)
- (a_3(\vert k \vert_g) = -L_1L_2L_3)
- (a_1(\vert k \vert_g)a_2(\vert k \vert_g) - a_3(\vert k \vert_g) = - (L_1 + L_2)(L_2 + L_3)(L_3 + L_1))

当 (\vert k \vert_g = \vert k \vert_{gT}) 时，其中一个根为零（接近图灵分岔阈值）。令 (L_1(\vert k \vert_g = \vert k \vert_{gT}) = 0)，且 (L_2(\vert k \vert_g = \vert k \vert_{gT}) < 0)，(L_3(\vert k \vert_g = \vert k \vert_{gT}) < 0)。由此可得 (a_3(\vert k \vert_g) = 0)，根据图灵不稳定性准则，有 (a_1(\vert k \vert_g) > 0)，(a_2(\vert k