poj 3696 The Luckiest number

最新推荐文章于 2020-04-13 01:43:26 发布

struggle_mind

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CC 4.0 BY-SA版权

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/struggle_mind/article/details/7861300

本文探讨了一个关于素数分解与模运算相结合的独特问题，通过深入分析，揭示了解决此类问题的关键步骤与数学原理，特别强调了元根的概念在解决特定数论问题中的重要作用。文章还详细介绍了算法实现过程，包括快速幂运算的优化技巧，帮助读者理解如何避免溢出并高效求解。通过实例解析，读者能够掌握如何判断一个数是否满足特定条件，并找到满足条件的最小数，对于提升数论与算法领域的理解和实践能力具有重要意义。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

http://poj.org/problem?id=3696

这个题挺好，开始以为只要是素因子分解后2的幂次不超过3并且该数 / 2^x后这个数必须是11111111…… 的形式几个1就输出几，然后我脑残的写交了然后就脑残的wa 了……才发现11111……不一定都是素数。。。

正解是： 10^n =1 (mod gcd(8,l)*9*l) 满足条件最小值，个人比较懒就不证明了，就是所谓的元根

注意这个题目一般的快速幂还不行，可以超过int 后自乘就溢出了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>

using namespace std;
typedef long long ll;
ll prime[1100],factor[1100000];
int num[1100],cnt,fac_n;

ll gcd(ll a, ll b)
{
    if(a==0) return 1;
    if(a<0) return gcd(-a,b);
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
ll phi(ll a)
{
    ll ret=a;
    for(ll i=2;i*i<=a;i++)
      if(a%i==0)
      {
          ret=ret/i*(i-1);
          while(a%i==0) a/=i;
      }
    if(a!=1) ret=ret/a*(a-1);
    return ret;
}
void dfs(int id,ll mul)
{
    if(id==cnt)
    {
        factor[fac_n++]=mul;
        return;
    }
    ll tmp=1;
    for(int i=0;i<=num[id];i++)
    {
        dfs(id+1,mul*tmp);
        tmp*=prime[id];
    }
}
ll mod1(ll a,ll b,ll m)//计算a*b%m
{
	ll ret=0;
	while(b)
	{
		if(b&1)
		{
			ret+=a;
			if(ret>=m)
				ret-=m;
		}
		a+=a;
		if(a>=m)
			a-=m;
		b>>=1;
	}
	return ret;
}
bool quick_pow(ll a,ll mod)
{
    ll ans=1,b=10;
    while(a)
    {
        if(a&1) ans=mod1(ans,b,mod);
        a>>=1;
        b=mod1(b,b,mod);
    }
    return ans==1;
}
int main()
{
    int cas=1;
    ll L;
    while(scanf("%lld",&L)==1&&L)
    {
        ll gd=gcd(9*L,8);
        ll m=9*L/gd;
        if(m%2==0||m%5==0) { printf("Case %d: 0\n",cas++);continue;}
        ll ph=phi(m);
        cnt=0;
        for(ll i=2;i*i<=ph;i++)
          if(ph%i==0)
          {
              prime[cnt]=i;
              int tmp=0;
              while(ph%i==0) tmp++,ph/=i;
              num[cnt++]=tmp;
          }
        if(ph!=1) prime[cnt]=ph,num[cnt++]=1;
        fac_n=0;
        dfs(0,1);
        sort(factor,factor+fac_n);
        for(int i=0;i<fac_n;i++)
        {
            if(quick_pow(factor[i],m))
            {
                printf("Case %d: %lld\n",cas++,factor[i]);
                break;
            }
        }
    }
    return 0;
}