[poj3696][数论]The Luckiest number

最新推荐文章于 2020-07-16 23:10:33 发布

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探讨了如何通过数学推导解决一个数论问题：找到构成特定整数倍数所需的最少8的数量。利用数论中的概念，将问题转化为求解同余方程，并通过BSGS算法或欧拉定理来寻找最小的指数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给一个数n，问至少要用多少个8才能组成n的倍数，无解输出0

Input

The input consists of multiple test cases. Each test case contains
exactly one line containing L(1 ≤ L ≤ 2,000,000,000).

The last test case is followed by a line containing a zero.

Output

For each test case, print a line containing the test case number(
beginning with 1) followed by a integer which is the length of Bob’s
luckiest number. If Bob can’t construct his luckiest number, print a
zero.

Sample Input

8
11
16
0

Sample Output

Case 1: 1
Case 2: 2
Case 3: 0

题解

我的数论是真的烂啊
容易推出式子
$8*(10^x+10^{x-1}+...+10^0)\equiv 0 (\mod n)$
中间是个等比数列可以写成
$8*(10^x-1)/9\equiv 0 (\mod n)$
改写成不定方程的形式可以推出
$8*(10^x-1)/9=n*k$
$10^x-1=n*k*9/8$
观察到左边一定是整数，则右边也同为整数
对于n，他能贡献的因子是 $gcd(n,8)$ ，则k需要贡献 $8/gcd(n,8)$ 这些因子
原式可写为
$10^x-1=n*9*q/gcd(n,8)$
设 $m=9*n/gcd(n,8)$ ，仍可改写为 $10^x-1=q*m$ ，移项可得 $10^x=1+q*m$ ，这是个同余方程
$10^x\equiv 1(\mod m)$
喜欢可以直接BSGS，或者有欧拉定理这个x一定为 $\phi n$ 的因数
证明不再概述
注意一下爆long long的问题

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
int tt;
LL L;
LL gcd(LL a,LL b){return a==0?b:gcd(b%a,a);}
inline LL mul(LL a,LL b,LL mod)
{
    LL ret=0;
    while(b)
    {
        if(b&1)ret=(ret+a)%mod;
        a=(a+a)%mod;b>>=1;
    }
    return ret;
}
inline LL pow_mod(LL a,LL b,LL mod)
{
    LL ret=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)ret=mul(ret,a,mod)%mod;
        a=mul(a,a,mod)%mod;b>>=1;
    }
    return ret;
}
int main()
{
    while(scanf("%lld",&L)!=EOF)
    {
        if(!L)break;
        LL m=L/gcd(L,8)*9;
        tt++;
        if(gcd(10,m)!=1){printf("Case %d: 0\n",tt);continue;}
        LL mpos=LL(sqrt(double(m+1)));
        LL phi=m;
        for(int i=2;i<=mpos;i++)
            if(m%i==0)
            {
                while(m%i==0)m/=i;
                phi=phi/i*(i-1);
            }
        if(m!=1)phi=phi/m*(m-1);
        m=L/gcd(L,8)*9;
        LL ans=(1LL<<63-1);mpos=LL(sqrt(double(phi+1)));
        for(LL i=1;i<=mpos;i++)
            if(phi%i==0)
            {
                if(pow_mod(10,i,m)==1)ans=min(ans,i);
                if(i!=phi/i)
                    if(pow_mod(10,phi/i,m)==1)ans=min(ans,phi/i);
            }
        printf("Case %d: %lld\n",tt,ans);
    }
    return 0;
}