数值分析复习——绪论

一、绪论

误差的基本概念

绝对误差

• 设 $x^{\ast }$ 为准确值，$x$ 是 $x^{\ast }$ 的一个近似值，记 $e(x)=x^{\ast }-x\text{e(x)=x∗−x}e(x)=x^{\ast }-x$，称 $e(x)$ 为近似值 $x$ 的绝对误差
• 绝对误差不是误差的绝对值
• 若存在 $ϵ>0$，使得 $|e(x)|=|x^{\ast }-x|\le ϵ\text{∣e(x)∣=∣x∗−x∣≤ϵ}|e(x)|=|x^{\ast }-x|\le ϵ$，则 $ϵ$ 称为近似值的绝对误差限

相对误差

• 设 $x^{\ast }$ 为准确值，$x$ 是 $x^{\ast }$ 的一个近似值，记 $e_r(x)=\frac{x^{\ast }-x}{x^{\ast }}=\frac{e(x)}{x^{\ast }}\text{er(x)=x∗x∗−x=x∗e(x)}{e}_r(x)=\frac{x^{\ast }-x}{x^{\ast }}=\frac{e(x)}{x^{\ast }}$，则称 $e_r(x)$ 为近似值 $x$ 的相对误差
• 由于精确值难以求得，通常以 ${\overline{e}}_r(x)=\frac{x^{\ast }-x}{x}\text{er(x)=xx∗−x}{\overline{e}}_r(x)=\frac{x^{\ast }-x}{x}$ 作为相对误差

有效数

• 如果近似值 $x$ 的绝对误差限是其某一位的半个单位，且该位直到 $x$ 的第一个非零数字之间共有 n 位，则称 $x$ 具有 n 位有效数字，用这 n 位有效数字表示的近似值称为有效数
• 如 $\pi$ 的近似值取 $x_1=3.14$，则 $|\pi -x_1|=0.00159...<0.005=\frac{1}{2}\times 10^{-2}$，所以 $x_1$ 有 3 位有效数字

数据误差对函数值的影响

设 $x_1^{\ast },x_2^{\ast }$ 为准确值，$y^{\ast }=f(x_1^{\ast },x_2^{\ast }),x_1,x_2$ 为对应的近似值，$y=f(x_1,x_2)$，由二元函数 Taylor 展开得
$$\begin{array}{rl}e(y)& =y^{\ast }-y=f(x_1^{\ast },x_2^{\ast })-f(x_1,x_2)\\ & \approx \frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1}(x_1^{\ast }-x_1)+\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2}(x_2^{\ast }-x_2)\\ & \approx \frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1}e(x_1)+\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2}e(x_2)①\\ & \\ e_r(y)& =\frac{e(y)}{y}\approx \frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1}\frac{x_1}{f(x_1,x_2)}{e}_r(x_1)+\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_2}\frac{x_2}{f(x_1,x_2)}{e}_r(x_2)②\end{array}$$
利用 ① 和 ② 可得
$$\begin{array}{rl}& e(x_1+x_2)=e(x_1)+e(x_2)\\ & e(x_1-x_2)=e(x_1)-e(x_2)\\ & e(x_1{x}_2)\approx x_{2}e(x_1)+x_{1}e(x_2)\\ & e(\frac{x_1}{x_2})\approx \frac{1}{x_2}e(x_1)-\frac{x_1}{x_2^2}e(x_2)\\ & e_r(x_1+x_2)\approx \frac{x_1}{x_1+x_2}{e}_r(x_1)+\frac{x_2}{x_1+x_2}{e}_r(x_2)\\ & e_r(x_1-x_2)\approx \frac{x_1}{x_1-x_2}{e}_r(x_1)-\frac{x_2}{x_1-x_2}{e}_r(x_2)\\ & e_r(x_1{x}_2)\approx e_r(x_1)+e_r(x_2)\\ & e_r(\frac{x_1}{x_2})\approx e_r(x_1)-e_r(x_2)\end{array}$$

例子

设 $x=0.1230,y=1.234$ 均为有效数字，试分析 $(x-y)$ 和 $x^2\cos (y)$ 得绝对误差限、相对误差限和有效数字

解：由条件有 $|e(x)|\le \frac{1}{2}\times 10^{-4},|e(y)|\le \frac{1}{2}\times 10^{-3}$，则
$$\begin{array}{rl}|e(x-y)|& =|e(x)-e(y)|\le |e(x)|+|e(y)|\le 0.55\times 10^{-3}\\ |e_r(x-y)|& =|\frac{e(x-y)}{x-y}|\le |\frac{0.55\times 10^{-3}}{0.123-1.234}|=0.4950\times 10^{-3}\\ |e(x^2\cos y)|& \approx |2x\cos ye(x)-x^2\sin ye(y)|\\ & \le 2x|\cos y||e(x)|+x^2|\sin y||e(y)|\le 0.1120\times 10^{-4}\\ |e_r(x^2\cos y)|& =|\frac{e(x^2\cos y)}{x^2\cos y}|\le 0.2240\times 10^{-2}\end{array}$$
由上可知，

$|e(x-y)|\le 0.55\times 10^{-3}<\frac{1}{2}\times 10^{-2},x-y=-1.111$，所以 $(x-y)$ 具有 3 位有效数字

$|e(x^2\cos y)|<\frac{1}{2}\times 10^{-4},x^2\cos y=0.0049996$，所以 $x^2\cos y$ 具有 2 位有效数字

数值稳定性

• 对于某一算法，如果初始数据很小的误差仅使最终结果产生较小的误差，则称该算法是数值稳定的，否则称为数值不稳定的
• 例：建立计算积分 ${\int }_0^1\frac{x^n}{x+5}dx,n=0,1,2,...,10$ 的递推公式，并研究其误差传播

$$\begin{array}{rl}{I}_n& ={\int }_0^1\frac{x^n+5x^{n-1}-5x^{n-1}}{x+5}dx\\ & ={\int }_0^1{x}^{n-1}dx-5{\int }_0^1\frac{x^{n-1}}{x+5}dx\\ & =\frac{1}{n}-5I_{n-1}\to 不稳定\\ 若上式转换为：I_{n-1}& =\frac{1}{5}(\frac{1}{n}-I_n),(n=10,9,...,2,1)\to 稳定\end{array}$$

• 如果输入数据有微小的误差，引起输出数据只有微小的改变，称这类问题为良态的，否则称为病态的

实际计算中应注意的一些问题

• 尽量避免除数绝对值远远小于被除数绝对值
• 尽量避免两个相近的数相减
• 防止大数 “吃” 小数
• 简化计算步骤，减少运算次数

秦九韶算法

将多项式 $f(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}+...+a_{n-1}x+a_n$ 转换为如下嵌套形式：
$$f(x)=(...((a_{0}x+a_1)x+a_2)x+...+a_{n-1})x+a_n$$
改成表格形式如下：

	$a_0$	$a_1$	$a_2$	…	$a_{n-1}$	$a_n$
$x=x_0$		$b_0{x}_0$	$b_1{x}_0$	…	$b_{n-2}{x}_0$	$b_{n-1}{x}_0$
	$b_0$	$b_1$	$b_2$	…	$b_{n-1}$	$b_n=f(x_0)$

例：已知 $f(x)=8x^5+4x^3-9x+1$ 用秦九韶法求 $f(3)$

解：使用表格可得

	$8$	$0$	$4$	$0$	$-9$	$1$
$x_0=3$		$3\times 8=24$	$24\times 3=72$	$76\times 3=228$	$228\times 3=684$	$675\times 3=2025$
	$8$	$24+0=24$	$72+4=76$	$228+0=228$	$684+(-9)=675$	$2025+1=f(3)$

故 $f(3)=2026$