数值分析复习（五）——数值积分和数值微分

五、数值积分和数值微分

基本概念

一般的数值积分公式为：
$${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \sum _{k=0}^n{A}_{k}f(x_k)$$
其中称 $x_k$ 为求积点，$A_k$ 为求积系数，记
$$I(f)={\int }_a^{b}f(x)dx,I_n(f)=\sum _{k=0}^n{A}_{k}f(x_k)$$
则求积公式的截断误差为
$$R(f)=I(f)-I_n(f)$$

插值型求积公式

给定节点 $a\le x_0<x_1<...<x_n\le b$，已知 $f(x)$ 在这些点上的函数值为 $f(x_i),(i=0,1,...,n)$。由插值理论，$f(x)$ 的 n 次插值多项式为：
$$\begin{array}{rl}{L}_n(x)& =\sum _{k=0}^{n}f(x_k)l_k(x)=\sum _{k=0}^{n}f(x_k)\prod _{j=0,j\ne k}^n\frac{x-x_j}{x_k-x_j}\\ I(f)& ={\int }_a^{b}f(x)dx\approx {\int }_a^b{L}_n(x)dx=\sum _{k=0}^n[{\int }_a^b{l}_k(x)dx]f(x_k)=\sum _{k=0}^n{A}_{k}f(x_k)\end{array}$$
其中，$A_k={\int }_a^b{l}_k(x)dx$。记 $I_n(f)={\sum }_{k=0}^n{A}_{k}f(x_k)$，则 $I(f)\approx I_n(f)$

• 设有计算积分 $I(f)$ 的求积公式 $I_n(f)={\sum }_{k=0}^n{A}_{k}f(x_k)$，且求积系数 $A_k={\int }_a^b{l}_k(x)dx,(k=0,1,...,n)$，则称该求积公式为插值型求积公式
• 记 $R(f)=I(f)-I_n(f)$，由插值多项式的余项得插值型求积公式的截断误差为

$$R(f)={\int }_a^b\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}\prod _{i=0}^n(x-x_i)dx,\xi \in (a,b)$$

Newton-Cotes 公式

• 如果求积点 $x_k(k=0,1,...,n)$ 是等距的，即 $x_k=a+kh，h=\frac{b-a}{n}，k=0,1,...,n$，则称对应的插值型求积公式为 Newton-cotes 公式

令 $x=a+th，t\in [0,n]$，则 $x_k=a+kh，x_j=a+jh$，
$$\begin{array}{rl}{A}_k& ={\int }_a^b{l}_k(x)dx={\int }_a^b\prod _{j=0,j\ne k}^n\frac{x-x_j}{x_k-x_j}dx=h{\int }_0^n\prod _{j=0,j\ne k}^n\frac{t-j}{k-j}dt\\ & =\frac{(-1{)}^{n-k}h}{k!(n-k)!}{\int }_0^n\prod _{j=0,j\ne k}^n(t-j)dt=(b-a)\frac{(-1{)}^{n-k}}{n\times k!(n-k)!}{\int }_0^n\prod _{j=0,j\ne k}^n(t-j)dt,k=0,1,...,n\\ 记C_{n,k}& =\frac{(-1{)}^{n-k}}{n\times k!(n-k)!}{\int }_0^n\prod _{j=0,j\ne k}^n(t-j)dt,k=0,1,...,n则Newton-Cotes公式可写为\\ I_n(f)& =(b-a)\sum _{k=0}^n{C}_{n,k}f(x_k),其中C_{n,k}只依赖于k和n\end{array}$$

• 左/右/中矩形积分公式——对于函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的积分有

  • 左：${\int }_a^{b}f(x)dx\approx (b-a)f(a)$
  • 右：${\int }_a^{b}f(x)dx\approx (b-a)f(b)$
  • 中：${\int }_a^{b}f(x)dx\approx (b-a)f(\frac{a+b}{2})$

• 梯形公式：当 $n=1,h=b-a,x_0=a,x_1=b$ 时有 $C_{1,0}=\frac{1}{2},C_{1,1}=\frac{1}{2}$，则

$$T(f)=\frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]$$

• 梯形公式的截断误差如下：

$$\begin{array}{rl}{R}_T(f)& =I(f)-T(f)={\int }_a^b\frac{f^{{}^{\prime \prime }}(\xi )}{2}(x-a)(x-b)dx\\ & =\frac{f^{{}^{\prime \prime }}(\eta )}{2}{\int }_a^b(x-a)(x-b)dx=-\frac{(b-a{)}^3}{12}{f}^{{}^{\prime \prime }}(\eta ),\eta \in (a,b)\end{array}$$

• Simpson 公式：当 $n=2,h=\frac{b-a}{2},x_0=a,x_1=\frac{a+b}{2},x_2=b$ 时有 $C_{2,0}=\frac{1}{6},C_{2,1}=\frac{2}{3},C_{2,2}=\frac{1}{6}$，则

$$S(f)=\frac{b-a}{6}[f(a)+4f(\frac{a+b}{2})+f(b)]$$

• Simpson 公式的截断误差如下：

$$\begin{array}{rl}{R}_S(f)& =I(f)-S(f)={\int }_a^{b}f(x)dx-{\int }_a^{b}H(x)dx={\int }_a^b[f(x)-H(x)]dx\\ & ={\int }_a^b\frac{f^{(4)}(\xi )}{4}(x-a)(x-\frac{a+b}{2}{)}^2(x-b)dx\\ & =\frac{f^{(4)}(\eta )}{4}{\int }_a^b(x-a)(x-\frac{a+b}{2}{)}^2(x-b)dx\\ & =-\frac{b-a}{180}(\frac{b-a}{2}{)}^4{f}^{(4)}(\eta ),\eta \in (a,b)\end{array}$$

• Cotes 公式(*)：当 $n=4,h=\frac{b-a}{4},x_0=a,x_1=\frac{3a+b}{4},x_2=\frac{a+b}{2},x_3=\frac{a+3b}{4},x_4=b$ 时有 $C_{4,0}=\frac{7}{90},C_{4,1}=\frac{32}{90},C_{4,2}=\frac{12}{90},C_{4,3}=\frac{32}{90},C_{4,4}=\frac{7}{90}$，则

$$C(f)=\frac{b-a}{90}[7f(a)+32f(\frac{3a+b}{4})+12f(\frac{a+b}{2})+32f(\frac{a+3b}{4})+7f(b)]$$

• Cotes 公式的截断误差如下：

$$R_C(f)=I(f)-C(f)=-\frac{2(b-a)}{945}(\frac{b-a}{4}{)}^6{f}^{(6)}(\eta ),\eta \in (a,b)$$

代数精度

• 对于求积公式 $I(f)\approx I_n(f)={\sum }_{k=0}^n{A}_{k}f(x_k)$，如果对任意次数不超过 m 次的多项式 $p_m(x)$，如 $x^m\text{xm}{x}^m$ ，有 $I(p_m)=I_n(p_m)$；而存在 m+1 次多项式 $q_{m+1}(x)$，如 $x^{m+1}$，使得 $I(q_{m+1})\ne I_n(q_{m+1})$，则称求积公式的代数精度为 m
• n+1 个节点的插值型求积公式的代数精度至少是 n
• 求积公式 $I_n(f)={\sum }_{k=0}^n{A}_{k}f(x_k)$ 至少具有 n 次代数精度 $\iff$ 该求积公式是插值型求积公式，即 $A_k={\int }_a^b{l}_k(x)dx,k=0,1,...,n$
• 一般，对于 n+1 个节点的 Newton-Cotes（等距节点插值型）公式，若 n 为奇数，则代数精度为 n；若 n 为偶数，则代数精度为 n+1

复化求积公式

复化梯形公式

将区间 $[a,b]$ 作 $n$ 等分，记 $h=\frac{b-a}{n}，x_k=a+kh，k=0,1,...,n$
$$I(f)={\int }_a^{b}f(x)dx=\sum _{k=0}^{n-1}{\int }_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)dx$$
对小区间上的积分 ${\int }_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)dx$ 应用梯形公式即可得到复化梯形公式
$$T_n(f)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{h}{2}[f(x_k)+f(x_{k+1})]$$
其截断误差为
$$\begin{array}{rl}I(f)-T_n(f)& =\sum _{k=0}^{n-1}{\int }_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)dx-\sum _{k=0}^{n-1}\frac{h}{2}[f(x_k)+f(x_{k+1})]\\ & =\sum _{k=0}^{n-1}[-\frac{h^3}{12}{f}^{{}^{\prime \prime }}({\eta }_k)],{\eta }_k\in [x_k,x_{k+1}]\end{array}$$
设 $f(x)\in C^2[a,b]$，则由连续函数介值定理，$\exists \eta \in (a,b)$，使 $\frac{1}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}{f}^{{}^{\prime \prime }}({\eta }_k)=f^{{}^{\prime \prime }}(\eta )$，故 $T_n(f)$ 的截断误差为
$$I(f)-T_n(f)=-\frac{h^3}{12}n{f}^{{}^{\prime \prime }}(\eta )=-\frac{b-a}{12}{h}^2{f}^{{}^{\prime \prime }}(\eta )$$

• 先验误差估计：记 $M_2={\max }_{a\le x\le b}|f^{{}^{\prime \prime }}(x)|$，对于给定精度 $\epsilon $，只要 $\frac{b-a}{12}{M}_2{h}^2\le ϵ$，则有先验误差估计

$$|I(f)-T_n(f)|=\frac{b-a}{12}{h}^2|f^{{}^{\prime \prime }}(\eta )|\le \frac{b-a}{12}{M}_2{h}^2\le ϵ$$

• 后验误差估计：$|I(f)-T_{2n}(f)| \approx \frac{1}{3}|T_{2n}(f)-T_n(f)| \le \epsilon $
  • 当 h 很小时有，$I(f)-T_n(f)\approx \frac{h^2}{12}[f^{{}^{\prime }}(a)-f^{{}^{\prime }}(b)]$
  • 将 $[a,b]$ 进行 2 等分有，$I(f)-T_{2n}(f)\approx \frac{1}{12}(\frac{h}{2}{)}^2[f^{{}^{\prime }}(a)-f^{{}^{\prime }}(b)]$
  • 假设 $T_n(f)$ 已知，则 $T_{2n}(f)=\frac{1}{2}{T}_n(f)+\frac{h}{2}{\sum }_{k=0}^{n-1}f[\frac{1}{2}(x_k+x_{k+1})]$，其中 $h$ 为计算 $T_n(f)$ 时的步长

复化 Simpson 公式

记 $x_{k+\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}(x_k+x_{k+1})$，对每个小区间上积分 ${\int }_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)dx$ 应用 Simpson 公式即可得到复化 Simpson 公式：
$$S_n(f)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{h}{6}[f(x_k)+4f(x_{k+\frac{1}{2}})+f(x_{k+1})]$$
其截断误差为
$$I(f)-S_n(f)=\sum _{k=0}^{n-1}-\frac{h}{180}(\frac{h}{2}{)}^4{f}^{(4)}({\eta }_k)=-\frac{h}{180}(\frac{h}{2}{)}^4\sum _{k=0}^{n-1}{f}^{(4)}({\eta }_k),{\eta }_k\in [x_k,x_{k+1}]$$
设 $f(x)\in C^4[a,b]$，由连续函数介值定理，$\exists \eta \in (a,b)$，使 $\frac{1}{n}{\sum }_{k=0}^{n-1}{f}^{(4)}({\eta }_k)=f^{(4)}(\eta )$，故 $S_n(f)$ 的截断误差为
$$I(f)-S_n(f)=-\frac{h}{180}(\frac{h}{2}{)}^{4}n{f}^{(4)}(\eta )=-\frac{b-a}{180}(\frac{h}{2}{)}^4{f}^{(4)}(\eta ),\eta \in (a,b)$$

• 先验误差估计：记 $M_4={\max }_{a\le x\le b}|f^{(4)}(x)|$，对给定的精度 $ϵ$，选取 $h$ 使得 $\frac{b-a}{180}(\frac{h}{2}{)}^4{M}_4\le ϵ$，则有先验误差估计

$$|I(f)-S_n(f)|\le \frac{b-a}{180}(\frac{h}{2}{)}^4{M}_4\le ϵ$$

• 后验误差估计：$|I(f)-S_{2n}(f)|\approx \frac{1}{15}|S_{2n}(f)-S_n(f)|\le ϵ$
  • 当 $h$ 很小时，$I(f)-S_n(f)\approx \frac{1}{180}[f^{(3)}(a)-f^{(3)}(b)](\frac{h}{2}{)}^4$
  • $I(f)-S_{2n}(f)\approx \frac{1}{180}[f^{(3)}(a)-f^{(3)}(b)](\frac{\frac{h}{2}}{2}{)}^4$

复化 Cotes 公式(*)

记 $x_{k+\frac{1}{4}}=x_k+\frac{1}{4}h,x_{k+\frac{1}{2}}=x_k+\frac{1}{2}h,x_{k+\frac{3}{4}}=x_k+\frac{3}{4}h$，对积分 ${\int }_{x_k}^{x_{k+1}}f(x)dx$ 应用 Cotes 公式即可得到复化 Cotes 公式
$$C_n(f)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{h}{90}[7f(x_k)+32f(x_{x+\frac{1}{4}})+12f(x_{k+\frac{1}{2}})+32f(x_{k+\frac{3}{4}})+7f(x_{k+1})]$$
其截断误差为
$$I(f)-C_n(f)=-\frac{2(b-a)}{945}(\frac{h}{2}{)}^6{f}^{(6)}(\eta ),\eta \in (a,b)$$
当 h 很小时有

• $I(f)-C_n(f)\approx \frac{2}{945}[f^{(5)}(a)-f^{(5)}(b)](\frac{h}{2}{)}^6$
• $I(f)-C_{2n}(f)\approx \frac{1}{63}[C_{2n}(f)-C_n(f)]$

复化求积公式的阶数

设有计算积分 $I(f)$ 的复化求积公式 $I_n(f)$，如果存在正整数 $p$ 和非零常数 $C$，使
$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{I(f)-I_n(f)}{h^p}=C$$
则称公式 $I_n(f)$ 是 $p$ 阶的，即截断误差为：$R(f)=I(f)-I_n(f)=O(h^p)$

• 复化梯形公式为 2 阶；复化 Simpson 公式为 4 阶；复化 Cotes 公式为 6 阶
• $S_n(f)=\frac{4}{3}{T}_{2n}(f)-\frac{1}{3}{T}_n(f)$
• $C_n(f)=\frac{16}{15}{S}_{2n}(f)-\frac{1}{15}{S}_n(f)$
• Romberg 公式：$R_n(f)=\frac{64}{63}{C}_{2n}(f)-\frac{1}{63}{C}_n(f)$（会算即可）
• Romberg 公式的截断误差为 $O(h^8)$，从而有 $I(f)-R_{2n}(f)\approx \frac{1}{255}[R_{2n}(f)-R_n(f)]$

Gauss 求积公式

设 $I(f)={\int }_a^{b}f(x)dx$，$I_n(f)={\sum }_{k=0}^n{A}_{k}f(x_k)$，$I_n(f)$ 是求积公式 $I(f)$ 的求积公式，如果求积公式 $I_n(f)$ 的代数精度是 (2n+1)，则称该公式为 Gauss-Legendre 公式，简称 Gauss 公式，对应的求积点 $x_k(k=0,1,...,n)$ 称为 Gauss 点。由代数精度知，求积公式 $I(f)\approx I_n(f)$ 的代数精度为
$$(2n+1)\leftrightarrow {\int }_a^b{x}^{i}dx=\sum _{k=0}^n{A}_k{x}_k^i,i=0,1,...,2n+1$$
例1：考虑求积公式 ${\int }_{-1}^{1}f(x)dx\approx A_{0}f(x_0)+A_{1}f(x_1)$ 决定求积系数 $A_0$，$A_1$ 和求积点 $x_0$，$x_1$，使其成为 2 点 Gauss 公式

解：n = 1，即要使公式的代数精度为 2+1=3，由代数精度可得
$$\begin{array}{rl}f(x)& =1,A_0+A_1={\int }_{-1}^{1}1dx=2\\ f(x)& =x,A_0{x}_0+A_1{x}_1={\int }_{-1}^{1}xdx=0\\ f(x)& =x^2,A_0{x}_0^2+A_1{x}_1^2={\int }_{-1}^1{x}^{2}dx=\frac{2}{3}\\ f(x)& =x^3,A_0{x}_0^3+A_1{x}_1^3={\int }_{-1}^1{x}^{3}dx=0\end{array}$$
求得 $A_0=A_1=1$，$x_0=-\frac{1}{\sqrt{3}}$，$x_1=\frac{1}{\sqrt{3}}$，故 $[-1,1]$ 上两点 Gauss 公式为
$${\int }_{-1}^{1}f(x)dx\approx f(-\frac{1}{\sqrt{3}})+f(\frac{1}{\sqrt{3}})$$

• 设 $I(f)={\int }_a^{b}f(x)dx$，$I_n(f)={\sum }_{k=0}^n{A}_{k}f(x_k)$，$I_n(f)$ 是计算积分 $I(f)$ 的插值型求积公式，记

$$W_{n+1}(x)=(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)$$

则求积公式 $I(f)\approx I_n(f)$ 是 Gauss 求积公式 $\leftrightarrow$ $W_{n+1}(x)$ 与任意一个次数不超过 $n$ 的多项式 $p(x)$ 正交，即
$${\int }_a^{b}p(x)W_{n+1}(x)dx=0$$

• 设 $g_n(x)=a_{n,0}{x}^n+a_{n,1}{x}^{n-1}+...+a_{n,n-1}x+a_{n,n}，n=0,1,2,...$，其中 $a_{n,0}\ne 0$。如果对任意的 $i,j=0,1,...,i\ne j$ 有

$$(g_i,g_j)={\int }_a^b{g}_i(x)g_j(x)dx=0$$

则称 {gk(x)}k=0∞\{g_k(x)\}_{k=0}^\infty{gk​(x)}k=0∞​ 为区间 $[a,b]$ 上的正交多项式序列，称 $g_n(x)$ 为区间 $[a,b]$ 上的 $n$ 次正交多项式

• 设 {gk(x)}k=0∞\{g_k(x)\}_{k=0}^\infty{gk​(x)}k=0∞​ 为区间 $[a,b]$ 上的正交多项式序列，则对任意的 $n$，多项式 $g_0(x),g_1(x),...,g_n(x)$ 线性无关
• 设 {gk(x)}k=0∞\{g_k(x)\}_{k=0}^\infty{gk​(x)}k=0∞​ 为区间 $[a,b]$ 上的正交多项式序列，则 $g_n(x)$ 在 $(a,b)$ 上有 $n\text{n}n$ 个不同的实零点

n 次勒让德（Legendre）多项式：
$$P_n(t)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n(t^2-1{)}^n}{d{t}^n},n=0,1,2,...$$

• Legendre 多项式序列 {Pk(t)}k=0∞\{P_k(t)\}_{k=0}^{\infty}{Pk​(t)}k=0∞​ 是区间 $[-1,1]$ 上的正交多项式序列
• $n+1$ 次 Legendre 多项式 $P_{n+1}(t)$ 的零点就是 Gauss 公式的节点

区间 $[-1,1]$ 上的 Gauss 公式

$$\begin{array}{rl}I(g)& \approx {\int }_{-1}^{1}g(t)dt\approx \sum _{k=0}^n\widetilde{A_k}g(t_k)\\ \widetilde{A_k}& ={\int }_{-1}^1\prod _{j=0,j\ne k}^n\frac{t-t_j}{t_k-t_j}dt,k=0,1,...,n\end{array}$$

• 当 $n=0$ 时，$t_0=0$，$\widetilde{A_0}=2$，得 1 个节点的 Gauss 公式

$${\int }_{-1}^{1}g(t)dt\approx 2g(0)$$

• 当 $n=1$ 时，$t_0=-\frac{1}{\sqrt{3}}$，$t_1=\frac{1}{\sqrt{3}}$，$\widetilde{A_0}=\widetilde{A_1}=1$，得 2 个节点的 Gauss 公式

$${\int }_{-1}^{1}g(t)dt\approx g(-\frac{1}{\sqrt{3}})+g(\frac{1}{\sqrt{3}})$$

• 当 $n=2$ 时，$t_0=-\sqrt{\frac{3}{5}}$，$t_1=0$，$t_2=\sqrt{\frac{3}{5}}$，$\widetilde{A_0}=\widetilde{A_2}=\frac{5}{9}$，$\widetilde{A_1}=\frac{8}{9}$，得 3 点 Gauss 公式

$${\int }_{-1}^{1}g(t)dt\approx \frac{5}{9}g(-\sqrt{\frac{3}{5}})+\frac{8}{9}g(0)+\frac{5}{9}g(\sqrt{\frac{3}{5}})$$

区间 $[a,b]$ 上的 Gauss 公式

作变换 $x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}t\text{x=2a+b+2b−at}x=\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}t$，可得
$$I(f)={\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{-1}^1\frac{b-a}{2}f(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}t)dt$$
由 $[-1,1]$ 上的 Gauss 公式得 $[a,b]$ 上的 Gauss 公式为
$$I_n(f)=\sum _{k=0}^n\frac{b-a}{2}\widetilde{A_k}f(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2}{t}_k)$$

Gauss 公式的截断误差

设 $f(x)\in C^{2n+2}[a,b]$，则 Gauss 公式 ${\int }_a^{b}f(x)dx\approx {\sum }_{k=0}^n{A}_{k}f(x_k)$ 的截断误差为
$$R(f)={\int }_a^{b}f(x)dx-\sum _{k=0}^n{A}_{k}f(x_k)=\frac{f^{(2n+2)}(\xi )}{(2n+2)!}{\int }_a^b{W}_{n+1}^2(x)dx$$

其中，$W_{n+1}(x)={\prod }_{j=0}^n(x-x_j),\xi \in (a,b)$

Gauss 公式的稳定性和收敛性

• Gauss 公式 ${\int }_a^{b}f(x)dx\approx {\sum }_{k=0}^n{A}_{k}f(x_k)$ 的求积系数 $A_k>0(k=0,1,...,n)$
• 由于舍入误差的影响，$f(x_k)$ 往往有误差，即用 $f(x_k)$ 的近似值 $\widetilde{f_k}$ 计算，因此实际求得定积分的近似值为

$$I_n(\tilde{f})=\sum _{k=0}^n{A}_k\widetilde{f_k}$$

• 求积公式 $I_n(f)={\sum }_{k=0}^n{A}_{k}f(x_k)$，其近似值为 $I_n(\tilde{f})={\sum }_{k=0}^n{A}_k\widetilde{f_k}$。如果对于任意 $ϵ>0$，存在 $\delta >0$，当 ${\max }_{0\le k\le n}|f(x_k)-\widetilde{f_k}|<\delta$ 时，有 $|I_n(f)-I_n(\tilde{f})|<ϵ$，则称该求积公式是稳定的
• Gauss 公式 ${\int }_a^{b}f(x)dx\approx {\sum }_{k=0}^n{A}_{k}f(x_k)$ 是稳定的
• 给定求积公式 ${\int }_a^{b}f(x)dx\approx {\sum }_{k=0}^n{A}_k^{(n)}f(x_k^{(n)})$，如果对任意 $ϵ>0$，存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时，有 $|I(f)-I_n(f)<ϵ|$，则称该求积公式收敛
• 设 $f(x)\in C[a,b]$，则 Gauss 公式收敛

复化 Gauss

TODO

数值微分

$$\begin{array}{rl}{f}^{{}^{\prime }}(x_0)& \approx \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h},(向前差商)\\ f^{{}^{\prime }}(x_0)& \approx \frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h},(向后差商)\\ f^{{}^{\prime }}(x_0)& \approx \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h},(中心差商)\end{array}$$

将 $f(x_0+h)$，$f(x_0-h)$ 在 $x_0$ 点 Taylor 展开，可以得
$$\begin{array}{rl}{f}^{{}^{\prime }}(x_0)-\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}& =-\frac{h}{2}{f}^{{}^{\prime \prime }}(x_0)+O(h^2)\\ f^{{}^{\prime }}(x_0)-\frac{f(x_0)-f(x_0-h)}{h}& =\frac{h}{2}{f}^{{}^{\prime \prime }}(x_0)+O(h^2)\\ f^{{}^{\prime }}(x_0)-\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}& =-\frac{h^2}{6}{f}^{{}^{\prime \prime \prime }}(x_0)+O(h^3)\end{array}$$