79、混合网络中的高斯近似推理方法解析

混合网络中的高斯近似推理方法解析

在许多实际应用中，我们常常需要对复杂的分布进行近似处理，尤其是将其近似为高斯分布，以便于进行推理和分析。本文将详细介绍几种不同的高斯近似方法，包括泰勒级数近似、基于数值积分的 M - 投影方法（如高斯求积法和无迹变换法），并探讨它们在期望传播消息传递推理中的应用，同时分析这些方法的优缺点和适用场景。

泰勒级数近似的局限性

首先来看一个简单的例子，考虑函数 $X = Z^2$，假设 $p(Z) = N(Z | 0; 1)$。通过计算可得 $X$ 的均值 $IE_p[X] = IEp[Z^2] = 1$，方差 $VVarp[X] = IEp[Z^4] - IEp[Z^2]^2 = 3 - 1^2 = 2$。然而，当我们使用一阶泰勒级数在 $Z = 0$ 处对 $f(Z)$ 进行近似时，$\hat{f}(Z) = 0^2 + (2Z)_{Z = 0}Z \equiv 0$，此时 $\hat{p}(X)$ 就变成了一个狄拉克函数，所有的概率质量都集中在 $X = 0$ 处，这显然是对 $p(X)$ 的一个非常糟糕的近似。

一般来说，泰勒级数近似的质量取决于 $\hat{f}$ 在 $Z$ 的均值附近对 $f$ 的近似程度，而这个邻域的大小由 $p_0(Z)$ 的方差决定。只有当 $f$ 的泰勒展开式中的线性项在这个邻域内占主导地位，且高阶项较小时，近似效果才会较好。但在很多实际情况中，比如当 $f$ 相对于 $p_0(Z)$ 的方差变化非常快时，使用简单的泰勒级数方法可能会导致非常差的近似。

基于数值积分的 M - 投影方法

泰勒级数方法是一种间接的近似方法，它先简化非线性函数 $f$，然后再计算结果分布。而基