30、二分图平方的中位数问题与直觉模糊自动机研究

二分图平方的中位数问题与直觉模糊自动机研究

1 二分图平方的中位数问题

1.1 引理 4

对于图 (G) 中的顶点 (u)，有 (SG^2(u) = \frac{1}{2}(SG(u) + |O_u|))，其中 (|O_u|) 是图 (G) 中与顶点 (u) 距离为奇数的顶点数量。
证明过程如下：
设 (O_u) 是图 (G) 中与顶点 (u) 距离为奇数的所有顶点的集合。则
[
\begin{align }
SG^2(u) &= \sum_{v\in O_u}d_{G^2}(u, v) + \sum_{v\notin O_u}d_{G^2}(u, v)\
&= \sum_{v\in O_u}\frac{1}{2}d_G(u, v) + \sum_{v\notin O_u}\frac{1}{2}(d_G(u, v) + 1)\
&= \frac{1}{2}(SG(u) + |O_u|)
\end{align }
]
注：如果对于图 (G) 中所有顶点 (u)，(|O_u|) 为常数，那么图 (G) 和 (G^2) 的中位数集相同。

1.2 平方子图的定义与引理

• 定义 1 ：图 (G) 的子图 (H) 是 (G) 的平方子图，当且仅当 (H^2 \cong G^2[V(H)])。并非图的所有子图都是平方子图，例如 (P_4) 不是 (C_5) 的平方子图，因为 (P_4^2 \cong K_4 - e) 不是 (C_5^2 \cong K_5) 的诱导子图。
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