64、马尔可夫链蒙特卡罗方法与吉布斯采样详解

马尔可夫链蒙特卡罗方法与吉布斯采样详解

引言

在统计学和机器学习领域，马尔可夫链蒙特卡罗（Markov Chain Monte Carlo，MCMC）方法是一种强大的工具，用于解决复杂的概率分布采样和积分计算问题。本文将深入探讨MCMC方法中的吉布斯采样（Gibbs Sampling）算法，介绍其原理、算法步骤，并通过实例展示其应用。

马尔可夫链蒙特卡罗方法基础

• 蒙特卡罗方法 ：蒙特卡罗方法是一种基于概率模型的数值近似计算方法。它可以用于概率分布的采样、概率分布数学期望的估计以及定积分的近似计算。
  • 随机采样 ：包括直接采样法和接受 - 拒绝采样法。接受 - 拒绝法的基本思想是找到一个容易采样的推荐分布，其密度函数是待采样概率分布密度函数的若干倍。通过根据推荐分布进行随机采样，然后根据待采样概率分布与推荐分布倍数的比值随机接受或拒绝样本，重复此过程得到样本。
  • 数学期望估计 ：根据概率分布 $p(x)$ 抽取随机变量 $x$ 的 $n$ 个独立样本。根据大数定律，当样本量增加时，函数的样本均值以概率 1 收敛到函数的数学期望。即 $\hat{f} n \to E {p(x)}[f(x)]$，$n \to \infty$，计算样本均值 $\hat{f} n$ 作为数学期望 $E {p(x)}[f(x)]$ 的估计。
• 马尔可夫链 ：是具有马尔可夫性质的随机过程，即 $