53、主成分分析：样本主成分分析详解

主成分分析：样本主成分分析详解

1. 主成分分析基础

主成分分析是一种重要的数据降维技术，在许多领域都有广泛应用。在主成分分析中，有两个关键的数学关系值得关注：
- 对于归一化随机变量 (x_{i}^{ }) 和所有主成分 (y_{k}^{ })，它们的相关系数平方和存在特定关系。具体而言，(\sum_{i = 1}^{m}\rho^{2}(y_{k}^{ }, x_{i}^{ })=\sum_{i = 1}^{m}\lambda_{k}^{ }e_{ik}^{ 2}=\lambda_{k}^{ })，其中 (k = 1, 2, \cdots, m)。
- 同时，归一化随机变量 (x_{i}^{ }) 与所有主成分 (y_{k}^{ }) 的相关系数平方和等于 1，即 (\sum_{k = 1}^{m}\rho^{2}(y_{k}^{ }, x_{i}^{ })=\sum_{k = 1}^{m}\lambda_{k}^{ }e_{ik}^{*2}=1)，这里 (i = 1, 2, \cdots, m)。

2. 样本主成分分析概述

在实际问题中，我们往往需要对观测数据进行主成分分析，这就是样本主成分分析。它基于总体主成分的概念，并且样本主成分具有与总体主成分相同的性质。下面详细介绍样本主成分分析的相关内容。

3. 样本主成分的定义与性质

假设 (m) 维随机变量 (x=(x_1, x_2, \cdots, x_m)^T) 进行了 (n) 次独立观测，观测样本用 (x_1, x_2, \