2、稀疏主成分分析：旋转与截断方法解析

稀疏主成分分析：旋转与截断方法解析

在数据分析领域，主成分分析（PCA）是一种常用的数据降维技术。然而，传统的PCA所得到的主成分往往缺乏稀疏性，这在某些情况下不利于结果的解释和应用。为了解决这个问题，稀疏主成分分析（Sparse Principal Component Analysis，SPCA）应运而生。本文将详细介绍一种名为SPCArt的稀疏主成分分析算法，包括其算法流程、截断类型、性能分析以及与其他相关方法的联系。

1. SPCArt算法流程

SPCArt算法的核心思想是通过旋转和截断操作来获得稀疏的主成分载荷。以下是SPCArt算法的具体步骤：

Algorithm 1 SPCArt
1: Input: Data matrix A ∈ Rn×p, number of loadings r, truncation type T, and truncation parameter λ.
2: Output: Sparse loadings X = [X1, ..., Xr] ∈ Rp×r.
3: Initialize R: R = I.
4: PCA: compute rank-r SVD of A: UΣV T, V ∈ Rp×r.
5: repeat
6:     Rotation: Z = V RT.
7:     Truncation: ∀i, Xi = Tλ(Zi)/∥Tλ(Zi)∥2.
8:     Update R: thin SVD of X T V: W DQT, R = W QT.
9: until convergence

该算法的输入包括数据矩阵 $