2、《量子信息中的映射与纠错理论》

《量子信息中的映射与纠错理论》

1. 单矩阵上的完全正映射

在量子信息领域，完全正映射是一个重要的概念。对于单矩阵的情况，我们可以对相关定理结果进行更详细的分析，并且发现这一研究与特征值不等式等其他主题相关。下面我们分别探讨不同类型的完全正映射。

1.1 幺正完全正映射

设矩阵 (A \in H_n) 和 (B \in H_m)，它们的特征值分别为 (a_1, \cdots, a_n) 和 (b_1, \cdots, b_m)，记 (a = (a_1, \cdots, a_n))，(b = (b_1, \cdots, b_m))。以下条件是等价的：
- 条件 (a) ：存在一个（幺正）完全正映射 (\varPhi : M_n \to M_m)，使得 (\varPhi(A) = B)。
- 条件 (b) ：存在一个非负（列随机）矩阵 (D = (d_{pq}))，使得 (b = aD)。
- 条件 (c) ：存在实数 (\gamma_1, \gamma_2 \geq 0)（且 (\gamma_1 = \gamma_2 = 1)），使得对于所有 (1 \leq j \leq m)，有 (\gamma_2 \min{a_i : 1 \leq i \leq n} \leq b_j \leq \gamma_1 \max{a_i : 1 \leq i \leq n})。

证明思路 ：
- (b) ⇒ (c) ：假设存在非负矩阵 (D = (d