【洛谷P4549】【模板】裴蜀定理【裴蜀定理】

最新推荐文章于 2025-06-01 21:17:11 发布

stoorz1023

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分类专栏：数论，数学洛谷模板题文章标签：裴蜀定理 P4549 模板

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/SSL_ZYC/article/details/98633049

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本文探讨了裴蜀定理在解决特定序列求和问题中的应用，通过多次应用该定理，将复杂问题简化为单一变量的线性形式，进而找到满足条件的最小正整数解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意：

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P4549
给出 $n$ 个数 $A_1...A_n)$ 现求一组整数序列 $X_1...X_n)$ 使得 $S=A_1X_1+...A_nX_n>0$ ,且 $S$ 的值最小。

思路：

裴蜀定理：对整数 $a, b$ 和它们得的最大公约数 $d$ ，对于任意整数 $x, y$ ，必然有 $d ∣ a x + b y$ 。
所以我们设 $ax+by=dk,k\in\Z^*$ ，那么我们就把这个方程减少了一项。
那么利用进行 $n - 1$ 次裴蜀定理后，我们就把方程变成了 $S = a x$ 的形式。那么此时显然 $x = 1$ 时有 $S = a$ 是最小的。

代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

int n,a,b;

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&a);
	for (int i=1;i<n;i++)
	{
		scanf("%d",&b);
		a=__gcd(abs(a),abs(b));
	}
	printf("%d\n",a);
	return 0;
}