模板 cdq分治解三维偏序

模板：三维偏序

有$n$个元素，每个元素有三个属性$a,b,c$，对于$1\le i\le n$，求有多少$1\le j\le n$，满足$a[j]\le a[i]，b[j]\le b[i]，c[j]\le c[i]$

Solution:

类似于二维偏序，先排序一维，保证其在第一维符合顺序，即按照$a,b,c$的优先级先排序一次（为什么不只排序$a$的原因在最后），接下来转化为二维偏序问题，其中，如何保证在满足第二维的情况下统计第三位的贡献是关键

$cdq$分治$[l,r]$时，统计$[l,mid]$对$[mid+1,r]$的贡献，并且类似归并排序，先递归区间，再从小到大处理区间，这样的话一定会保证$[l,mid]$和$[mid+1,r]$之间的$b$符合偏序规则（是两个区间各取一个，而不是$[l,r]$任意两个元素），那么我们只需要按照他们$b$的顺序，依次把$c$加入树状数组即可，和求逆序对一模一样

为什么要按照$a,b,c$的优先级排序而不是只按照$a$的优先级的原因在，递归到最小区间的时候我们不做任何操作，直接返回，这样需要合并相邻元素的时候满足三维的偏序规则，所以需要排序三维，换句话说，多排序$b,c$两维仅仅只是为了合并最小区间时候的正确性

洛谷P3810 陌上花开

其中由于偏序条件可以取等，那么完全一样的连续的元素应该合并，因为这样的话这些相等的元素后面的也会给前面的带来贡献，不妨合并他们，最后的答案加上他们连续的个数-1就是他们各自的答案了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n,k,m;

struct fenwick
{
    int tree1[200005],tree2[200005];
    inline int lowbit(int x){return -x&x;}
    void add(int x,int v)
    {
        int tmp=x*v;
        while(x<=k)
        {
            tree1[x]+=v;
            tree2[x]+=tmp;
            x+=lowbit(x);
        }
    }
    void add(int l,int r,int v)
    {
        add(l,v);
        add(r+1,-v);
    }
    int getsum(int l,int r)
    {
        int ret=0,x=r;
        while(x)
        {
            ret+=(r+1)*tree1[x]-tree2[x];
            x-=lowbit(x);
        }
        x=l-1;
        while(x)
        {
            ret-=l*tree1[x]-tree2[x];
            x-=lowbit(x);
        }
        return ret;
    }
}tree;

struct node
{
    int a,b,c,id,cnt;
    bool operator==(const node& x) const {return a==x.a&&b==x.b&&c==x.c;}
    friend istream& operator>>(istream& o,node& x)
    {
        scanf("%d%d%d",&x.a,&x.b,&x.c);
        return o;
    }
}a[200005],tmp[200005];
int cnt,ans[200005],tot[200005];

void solve(int l,int r)
{
    if(l==r) return;
    int mid=l+r>>1;
    solve(l,mid); solve(mid+1,r);
    int i=l,j=mid+1,k=l;
    while(i<=mid&&j<=r)
    {
        if(a[i].b<=a[j].b)
        {
            tree.add(a[i].c,a[i].c,a[i].cnt);
            tmp[k++]=a[i++];
        }
        else
        {
            ans[a[j].id]+=tree.getsum(1,a[j].c);
            tmp[k++]=a[j++];
        }
    }
    while(i<=mid)
    {
        tree.add(a[i].c,a[i].c,a[i].cnt);
        tmp[k++]=a[i++];
    }
    while(j<=r)
    {
        ans[a[j].id]+=tree.getsum(1,a[j].c);
        tmp[k++]=a[j++];
    }
    for(int i=l;i<=mid;i++) tree.add(a[i].c,a[i].c,-a[i].cnt);
    for(int i=l;i<=r;i++) a[i]=tmp[i];
}

int main()
{
    cin>>n>>k;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    sort(a+1,a+1+n,[&](const node& x,const node& y){
        if(x.a!=y.a) return x.a<y.a;
        if(x.b!=y.b) return x.b<y.b;
        return x.c<y.c;
    });
    int l=1,r=1;
    while(l<=n)
    {
        while(r+1<=n&&a[r+1]==a[r]) r++;
        tmp[++m]={a[l].a,a[l].b,a[l].c,m,r-l+1};
        l=++r;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++) a[i]=tmp[i];
    solve(1,m);
    for(int i=1;i<=m;i++) 
        if(ans[a[i].id]+a[i].cnt-1<n) tot[ans[a[i].id]+a[i].cnt-1]+=a[i].cnt;
    for(int i=0;i<n;i++) printf("%d\n",tot[i]);
    return 0;
}