LCT 详解

今天学了个叫 “LCT” 的东西，很多人估计越听越懵。

Link-Cut Tree 确实是个很不好理解的东西，就连我也是。

就算是老师讲也感觉很模糊。

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首先，这个 LCT 也可以理解为“用 Splay 来维护树剖”，这里的树剖指的是实链剖分（专门为 LCT 服务的剖分方式）。

一棵树中，处于同一条实链的节点用同一个 Splay 维护。由于 Splay 灵活多变，完全可以代替线段树。

然后，每一个 Splay 内维护的节点键值是他们在原来树中的深度。即对于一个 Splay 节点键值 $x$，左子树的所有节点在树中的深度都小于 $x$，右子树的所有节点在树中的深度都大于 $x$。

于是，代码的前半部分完全用来写 Splay。

注意，有一个重点就是，树中的实链（即一棵 Splay）中的节点连的是双向边，而非实边连的是单向边（儿子认父，父不认儿子），这样有助于判断一个节点是否是 Splay 的根。

但是，之后呢？我们定义一个函数 $access(x)$ 表示，现在把 $root,...,x$ 这一条链搞成一条实链，并且 $x$ 下面不接任何实边（注意 $root,...,x$ 这些节点原本接的实边要删除）

如上图，红色的为实边（有些节点也可以不接实边，比如 $7$）。

接下来执行 $access(5)$。

执行 $access(8)$。

可以发现，每做一次 $access(x)$，其实就是把 $root,...,x$ 重构成一条实链，并单独用一个 Splay。

$access$ 函数是 LCT 中最重要的部分，也是 LCT 中唯一连接实线的方式。

void access(int x) //x 不为空，直到根为止
{
   
	int y=0;
	while(x)
	{
   
		splay(x);
		a[x].c[1]=y; //节点 x 原来接的实线清空，重新接到下面的节点，原来接的节点必然深度更深，即在平衡树右边
		a[y].fa=x;
		pushup(x);
		y=x;
		x=a[x].fa; //下一次更新实线用到
	}
}

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函数 $evert(x)$ ：把 $x$ 作为 $x$ 所在树的与根。

考虑用 $access(x)$ 把 $x$ 和 $root$ 连接，然后伸展到平衡树的根，最后利用翻转来保证所在平衡树的深度。

比如执行 $evert(8)$，连接了 $1,7,8$，以深度为键值建出平衡树：

把 $8$ 节点伸展到根：

你会发现，如果把 $8$ 作为根，有且只有这棵平衡树的深度需要重构，只需要对整棵树进行翻转即可。

翻转必然要打标记，必然要下放标记。因此在每次 Splay 伸展时，必须先从根传标记。

void evert(int x)
{
   
	access(x);
	splay(x);
	a[x].rev^=1; //翻转标记
}

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函数 $findrt(x)$ 查找 $x$ 所在的树的根。

显然，先用 $access$ 连接 $root$ 和 $x$，然后在平衡树中找深度最小的，即一直往左走。

int findrt(int x)
{
   
	access(x); //连接 root,x
	splay(x); //把 x 伸展到平衡树的根，也可以理解为找平衡树的根的一种方式
	while(a[x].c[0]) //一直往左走
	{
   
		x=a[x].c[0];
	}
	return x;
}

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函数 $link(x,y)$，连接原来树上 $(x,y)$ 两个节点。

类似于并查集的合并，我们可以先把 $x$ 作为树根