计算几何模板

stdforces

已于 2022-08-12 22:19:52 修改

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文章标签：算法

于 2022-08-12 22:15:05 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/stdforces/article/details/126312283

本文介绍了计算几何中向量和直线的相关概念及操作方法，包括向量的封装、角度和线段处理等内容。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

前文：在计算几何中，向量是主要工具，而不是解析几何中的数值。

向量和直线的封装模板：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

const double eps=1e-8,pi=acos(-1);

int cmp(double a,double b)
{
    if(fabs(a-b)<eps) return 0;
    else if(a-b>eps) return 1;
    return -1;
}

struct vec
{
    double x,y;
    bool operator==(const vec& a) const {return fabs(x-a.x)<eps&&fabs(y-a.y)<eps;}
    vec operator+(const vec& a) const {return (vec){x+a.x,y+a.y};}
    vec operator-(const vec& a) const {return (vec){x-a.x,y-a.y};}
    vec operator*(const double& k) const {return (vec){x*k,y*k};}
    vec operator/(const double& k) const {return (vec){x/k,y/k};}
    double operator^(const vec& a) const {return x*a.y-y*a.x;}//获得叉积的模
    double operator*(const vec& a) const {return x*a.x+y*a.y;}
    friend istream& operator>>(istream& o,const vec& a)
    {
        scanf("%lf%lf",&a.x,&a.y);
        return o;
    }
    friend ostream& operator<<(ostream& o,const vec& a)
    {
        printf("%.10lf %.10lf ",a.x,a.y);
        return o;
    }
};

struct line
{
    vec base,a,b;//两条向量和方向向量
};

bool rui(const vec& a,const vec& b){return a*b>eps;}//判定是否是锐角
bool zhi(const vec& a,const vec& b){return fabs(a*b)<eps;}//是否直角
bool dun(const vec& a,const vec& b){return a*b<-eps;}//是否钝角
bool operator!=(const vec& a,const vec& b){return !(a==b);}
double S(const vec& a,const vec& b){return fabs(a^b)/2;}//面积，叉积的模/2
vec operator*(const double& k,const vec &a){return (vec){k*a.x,k*a.y};}
double getlen(const vec& a){return sqrt(a.x*a.x+a.y*a.y);}//模长
double getangle(const vec& a,const vec& b){return acos(a*b/(getlen(a)*getlen(b)));}//获得夹角
vec getvertical(const vec& a){return (vec){a.y,-a.x};}//外积求垂直向量
vec getsingle(const vec& a){return a/getlen(a);}//单位向量
vec rotate(const vec& a,double k){return (vec){a.x*cos(k)-a.y*sin(k),a.x*sin(k)+a.y*cos(k)};}//旋转k弧度
line trans(const vec& a,const vec& b){return (line){getsingle(b-a),a,b};}//两点确定一条直线
line trans(double a,double b,double x,double y){return (line){getsingle((vec){x-a,y-b}),(vec){a,b},(vec){x,y}};}//两点确定一条直线

struct circle
{
    vec o;
    double r;
    friend istream& operator>>(istream& o,const circle& O)
    {
        cin>>O.o; scanf("%lf",&O.r);
        return o;
    }
};

int main()
{

    return 0;
}

点相关：

点一般在计算几何内与向量等价，于是一般用向量表示一个点，所以在模板中 $P$ 点写作 $P=OP→P=\overrightarrow{OP}$

角度相关：

向量的旋转：

$x⃗⋅y⃗\vec{x}\cdot\vec{y}$ 即辐角相加，并且其中一个的原长乘另一个在这里的投影，因此可以要将 $x⃗\vec{x}$ 旋转 $θ\theta$ ，等价于乘以一个模为1的，辐角为 $θ\theta$ 的向量，可以是 $(cosθ,sinθ)(cos\theta,sin\theta)$ 。

线相关：

直线和线段的向量表示：

表示一条直线只需要一个方向向量和直线上一个点，也就是两个向量；表示一个线段需要所在直线的方向向量与两个线段端点，需要三个线段。表示线段的方法也可以表示直线，于是我们采用三个向量表示一条直线或线段的方法，分别代表单位方向向量，直线/线段上的两个点 $A, B$ ，并且单位方向向量取 $AB→\overrightarrow{AB}$ 的单位向量。

投影向量：

先求投影长度，再乘投影到的直线的单位方向向量即可。求 $P$ 在直线 $l$ 上的投影向量，就是 $AP→⋅l.base→⋅l.base→\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{l.base}\cdot\overrightarrow{l.base}$

点到直线的垂足坐标：

设现在要求 $P$ 到 $A B$ 所在直线 $l$ 的投影坐标，那么首先取 $A$ 作为起始点，然后 $A$ 到垂足 $H$ 的差向量即是 $AP→\overrightarrow{AP}$ 在 $l$ 的投影 $z→\overrightarrow{z}$ ，那么 $P=A+AP→⋅l.base→⋅l.base→P=A+\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{l.base}\cdot\overrightarrow{l.base}$

角平分线：

菱形形对角线即是角平分线，那么 $a→+b→\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ 就是角平分线向量，直线取单位向量即可。

tips:注意是等长度向量相加

中垂线：

先找垂线的方向向量，利用点积为0；然后中点坐标，求出中点即可。

点关于直线的对称点：

求出点在直线的投影垂足后，用中点坐标公式即可

点与直线的位置关系：

点在直线的哪一侧可以用叉积解决。

右手定则： $a→×b→\overrightarrow{a} \times\overrightarrow{b}$ ，右手指弯曲，先从 $a→\overrightarrow{a}$ 经过，此时大拇指的方向就是叉乘向量的正方向，此时模长为正，反之为负。

由右手定则，我们要判断在直线的哪一侧就只需要判断在方向向量的哪一侧，即 $AB→×AP→\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AP}$ 的模正负性。

直线和直线的位置关系：

若内积为0，那么垂直；若叉积为0，那么共线（可能平行可能重合）；反之是普通的相交。

点是否在线段上：

需要满足两个条件：

(1)共线，叉积为0

(2) $P A$ 与 $PB$ 夹角为钝角，点积小于0

线段和线段的位置关系：

如果是垂直或平行，只需要看所在直线是否垂直平行

接下来着重讨论相交这个关系：

判断线段相交，按顺序进行下面两个实验：

(1)快速排斥实验，看以两个线段为对角线且边与坐标轴平行的矩形是否有重合，如果没有，那么一定不重合，否则再进行第二项。判断是否有重合只需判断在两线段在 $x$ 轴的投影是否有重合部分和在 $y$ 轴投影是否有重合部分，如果任意一个没有，那么就一定没有。

(2)跨立实验：分别以两条线段为基准，看另一条线段的两个端点是否在基准线段的两侧，使用叉积判断。

主观上跨立实验足够充要证明是否相交，但不能判断线段共线且无相交的情况，第一个实验可以认为是特判这种情况的。

tips：注意跨立实验，端点可以在另一条线段上，也就是叉积可以为0

点到直线(线段)的距离：

如果是到直线的距离，那么利用等面积法，因为 $PA→×PB→=2S=∣AB∣⋅h\overrightarrow{PA}\times\overrightarrow{PB}=2S=|AB|\cdot h$ ，变形即可求得 $h$ 。

如果是到线段的距离，需要判断点在线段所在直线上的投影是否在线段上，如果是，那么到所在直线的距离就是到线段的距离，否则就是点到线段的两个端点的距离的最小值。

线段和线段的距离：

如果两线段相交，距离为0；反之，为每个线段端点到另一条线段的距离的最小值。

直线和直线的交点：

应该建立在不共线的基础之上。

设 $A, B$ 确定指向 $l 1$ ， $C, D$ 确定直线 $l 2$

不妨设交点为 $P$ ，那么他一定可以由 $l 1$ 上的一点 $A$ 加上 $k$ 倍的 $l 1$ 的方向向量 $l 1. ba se$ 得到，不妨设 $P=A+k⋅l1.base→P=A+k\cdot\overrightarrow{l1.base}$ ，由于相交，那么 $CP→\overrightarrow{CP}$ 和 $l2.base→\overrightarrow{l2.base}$ 共线，所以叉积为0，即 $(P−C)⋅l2.base→=0(P-C)\cdot\overrightarrow{l2.base}=0$ ，叉积满足分配律，化简解出 $k$ 即可。

多边形相关：

多边形的存储方法：

按照逆时针或顺时针存储点即可

多边形的面积：

$S=∑i=1nOPi→⋅OPi%n+1→2S=\frac{\sum_{i=1}^{n}\overrightarrow{OP_{i}}\cdot\overrightarrow{OP_{i\%n+1}}}{2}$

多边形的凹凸性：

两种定义：

(1)当多边形没有一个内角是优角时，这个多边形是凸多边形，否则是凹多边形。

(2)若把任意一条边延长成直线，如果与其他边没相交，就是凸多边形，反之为凹。

一种充要的判定方法，选择一个特定顺序的三元组 ${a,b,c\}$ ，如果每一个三元组都满足 $c$ 在 $ab→\overrightarrow{ab}$ 的同一方向，那么这个多边形就是凸的，反之为凹。

圆相关：

圆和圆的位置关系：

设两圆心之间距离为 $d i s$ ，两圆半径分别为 $r_{1},r_{2}$ ，并且 $r_{1}>r_{2}$

(1)相离， $dis>r_{1}+r_{2}$

(2)相切， $dis=r_{1}+r_{2}$

此时开始小圆圆心一定在大圆内

(3)内切， $dis=r_{1}-r_{2}$

(4)相交，内切和外切之间即是相交， $r 1 - r 2 < d i s < r 1 + r 2$

(5)否则即是内包含

圆和直线的交点坐标：

求出到弦的垂足 $h$ 和一半的弦长，向量加减即可

圆和圆的交点坐标：

由两个圆心和一个交点组成的三角形都是已知的，求出一个以圆心为顶点的角，之后将圆心向量旋转即可。

过点 $P$ 的切线与圆的切点：

切点， $P$ ， $O$ 三点的直角三角形可以得到角度，旋转即可。

圆的公切线的切点：

找角度，旋转圆心向量即可，注意切线种类有两种，不经过两圆之间和经过两圆之间。

圆和多边形的面积并

圆和圆的面积并/交：

讨论圆和圆的位置关系即可

圆和多边形的面积交：

利用计算多边形面积的”有向面积法“，讨论每个边的情况：

(0)线段经过原点

(1)与圆有一个交点

(2)与圆有两个交点

(3)线段完全在圆内

(4)线段完全在圆外

判断情况是比较繁琐的，可以先判断简单的，然后在else区域内再进一步判断，会显得容易一些。

对于情况(1)(2)，用余弦定理是非常麻烦的，只要直线交圆，就一定有垂径定理的三角形，那么就有角度，利用角度运算，会简单许多。

情况(1)(2)中 $θ\theta$ 为弦与半径的夹角，然后运算即可。

int gettot(vec p1,vec p2,double len,double dis,double len1,double len2,double len3)
{
	//两个交点
	if(cmp(len,dis)==0&&cmp(len1,s.r)>-1&&cmp(len2,s.r)>-1&&cmp(len,s.r)==-1) return 2;
	if(cmp(len2,s.r)<1&&cmp(len1,s.r)>-1) return 1;
	return 0;
}

double solve(vec p1,vec p2)
{
	if(on_seg(trans(p1,p2))) return 0;
	double len1=getlen(p1),len2=getlen(p2),len3=getlen(p2-p1);
	if(cmp(len1,len2)==-1) swap(len1,len2);
	double dis=fabs(p1^p2)/len3,len=getdis({0,0},trans(p1,p2));
	int tot=gettot(p1,p2,len,dis,len1,len2,len3),base=(p1^p2)>0?1:-1;
	if(tot==1)
	{
		double theta=asin(dis/s.r),alpha=acos(getcos(len2,len3,len1)),beta=acos(getcos(len1,len2,len3));
		return base*((beta+alpha+theta-pi)*s.r*s.r/2+sin(pi-theta-alpha)*s.r*len2/2);
	}
	else if(tot==2)
	{
		double theta=asin(dis/s.r),alpha=asin(dis/len1),beta=asin(dis/len2);
		double ret1=(theta-alpha)*s.r*s.r/2,ret2=(theta-beta)*s.r*s.r/2,ret3=s.r*s.r*sin(pi-2*theta)/2;
		return base*(ret1+ret2+ret3);
	}
	if(cmp(len1,s.r)==-1&&cmp(len2,s.r)==-1) return base*S(p1,p2);//线段完全在内部
	return base*acos(getcos(len1,len2,len3))*s.r*s.r/2;//线段在外部
}