2022牛客#2 J，函数极值，线性回归求拟合直线

题意：

给定一个数组，每个数都可以修改一次，把他们修改成等差数列（可以是小数等差数列），若把$a_i$修改为$a_i^{\prime }$，代价是$(a_i-a_i^{\prime }{)}^2$，求能修改成等差数列的最小总代价

方法：

等差数列一定落在一条直线上，设直线$y=kx+b$，那么代价和为${\sum }_{i=1}^n(a_i-ki-b{)}^2$

展开化简，原式即${\sum }_{i=1}^n{a}_i^2+k^2{\sum }_{i=1}^n{i}^2+n{b}^2-2k{\sum }_{i=1}^{n}i{a}_i-2b{\sum }_{i=1}^n{a}_i+2bk{\sum }_{i=1}^{n}i$

可以发现，这是一个关于$k,b$的二元函数，并且固定$k$，发现是一个关于$b$的开口向上的二次函数，固定$b$，是一个关于$k$的二次函数，因此这个函数存在一个极小值，可以三分套三分求这个极值，但是精度不够，后面才注意到第一次三分固定$k$后，关于$b$的函数可以用数学方式求，但可惜，精度仍然不够

三分套三分WA代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define double long double
using namespace std;

int read()
{
    int ret=0,base=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
        if(ch=='-') base=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        ret=(ret<<3)+(ret<<1)+ch-48;
        ch=getchar();
    }
    return ret*base;
}

int n;
const double max1=1e13;
const double eps=1e-6;
double a[1000005],suma2,sumi2,sumiai,sumai,sumi;

double f(double k,double b)
{
    return suma2+k*k*sumi2+(double)n*b*b-2*k*sumiai-2*b*sumai+2*b*k*sumi;
}

double solve(double k)
{
    double l=-max1,r=max1,ret=1e300;
    while(r-l>eps)
    {
//        printf("2:l=%lf,r=%lf\n",l,r);
        double midl=(2*l+r)/3,midr=(l+2*r)/3;
        double vl=f(k,midl),vr=f(k,midr);
        ret=min(ret,vl);ret=min(ret,vr);
        if(vl<vr-eps) r=midr-eps;
        else l=midl+eps;
    }
    return ret;
}

void work()
{
    n=read();
    suma2=sumi2=sumiai=sumai=sumi=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=(double)read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        suma2+=a[i]*a[i];
        sumi2+=i*i;
        sumiai+=i*a[i];
        sumai+=a[i];
        sumi+=i;
    }
//    printf("%lf,%lf,%lf,%lf,%lf\n",suma2,sumi2,sumiai,sumai,sumi);
    double l=-max1,r=max1,ans=1e300;
//    printf("%lf\n",ans);
    while(r-l>eps)
    {
//        printf("1:l=%lf,r=%lf\n",l,r);
        double midl=(2*l+r)/3,midr=(l+2*r)/3;
        double min1=solve(midl),min2=solve(midr);
        ans=min(ans,min1);ans=min(ans,min2);
        if(min1<min2-eps) r=midr-eps;
        else l=midl+eps;
    }
    printf("%.12Lf\n",ans);
}

int main()
{
    int t=read();
    while(t--) work();
     return 0;
} 

这题要求一条直线，使平均距离最近，实际上这是给定$n$个点拟合直线的过程，是高中的线性回归

最小二乘法拟合直线$y=kx+b$，公式为

$k=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{(x_i-\bar{x}{)}^2}$

并且直线一定经过样本中心点，即$(\bar{x},\bar{y})$

所以$\bar{y}=k\bar{x}+b$

解出公式，计算距离即可

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

int read()
{
    int ret=0,base=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
        if(ch=='-') base=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        ret=(ret<<3)+(ret<<1)+ch-48;
        ch=getchar();
    }
    return ret*base;
}

int n;
double ave_x,ave_y,ans1,ans2,k,b,ans;
double a[1000005];

inline double f(double x){return k*x+b;}

void work()
{
    n=read();
    ave_x=ave_y=ans1=ans2=k=b=ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        a[i]=(double)read();
        ave_y+=a[i];
    }
    ave_x=(1.0+n)/2;
    ave_y/=n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        ans1+=(i-ave_x)*(a[i]-ave_y);
        ans2+=(i-ave_x)*(i-ave_x);
    }
    k=ans1/ans2;
    b=ave_y-k*ave_x;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans+=(f((double)i)-a[i])*(f((double)i)-a[i]);
    printf("%.10lf\n",ans);
}

int main()
{
    int t=read();
    while(t--) work();
    return 0;
}