“蔚来杯“2022牛客暑期多校训练营9 F题: Matrix and GCD

F题: Matrix and GCD

原题链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/33194/F

题目大意

给定 $n\times m$ 大小的矩阵 $M$ ， $[1,nm]$ 范围内每个整数只在 $M$ 中出现一次。定义子矩阵的权值为所有元素的 $GCD$ ，求 $M$ 的所有连续子矩阵的权值和。

题解

枚举子矩阵计算 $GCD$ 的时间复杂度为 $O(n^2{m}^2)$ ，显然不现实。
不妨枚举 $GCD$ ，然后统计符合的子矩阵个数。
设 $f_i$ 表示 $GCD$ 为 $i$ 的倍数的子矩阵个数。
求 $f_i$ 的过程可以变为:将 $i$ 的倍数变为 $1$ ，非 $i$ 的倍数变为 $0$ ，然后求全 $1$ 子矩阵个数即可。
这是一个经典问题，参考洛谷P3400，可以在 $O(nm)$ 的时间复杂度内完成。
若在每次枚举 $i$ 时重构矩阵，复杂度为 O ( n 2 m 2 ) O(n^2m^2) O(n2m