2022牛客#3 A，多个点的lca

最新推荐文章于 2023-05-25 09:04:09 发布

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#深度优先 #算法

这篇博客讨论了一种算法问题，涉及两棵具有相同节点数的树，每节点有权重。问题在于找出序列中删除一个元素后，使得剩余元素在第一棵树的最近公共祖先（LCA）的权值大于第二棵树。博客介绍了两种求解多个节点LCA的方法，并提供了C++代码实现。最后，通过示例解释了检查条件并计算合法删除方案数量的过程。

题意：

有两颗树节点数都为 $n$ 的树 $A$ 与 $B$ ，每个点都有一个权值，有一个长度为 $k$ 的序列，问这个序列中恰好删除一个元素，并且其他元素在树 $A$ 中的 $l c a$ 的权值大于在 $B$ 中的 $l c a$ 的权值的删除方法有多少种。

原题很拗口，以至于一开始方向错了，通俗解释一下，加入序列是 $[1, 3, 6, 7]$ ，假设删去 $3$ ，并且有 $v_{lca_{A}(1,6,7)}>v_{lca_{B}(1,6,7)}$ ，此时删除3就是一种方法。

方法：

本题关键在如何快速求得多个节点的 $l c a$ ，记录两种方法：

法一：

多个点的 $l c a$ 就是这些点中 $df s$ 序最小和最大的那两个点的 $l c a$

法二（仅适用于此）：

求一个序列的去掉一个点的 $l c a$ ，即这个元素前面的元素的 $l c a$ 与后面的元素的 $l c a$ 的 $l c a$ ， $l c a$ 可以叠加，不可以分离，因此可以求得这个序列的前缀 $l c a$ 与后缀 $l c a$ ，然后 $i$ 位置的 $l c a$ 就是 $l c a (p re [i - 1], s u f [i + 1])$ ，当然，这种方法也可以求得去掉一个连续段的 $l c a$ 。

$df s$ 序 $l c a$ 代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

int read()
{
    int ret=0,base=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch))
    {
        if(ch=='-') base=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        ret=(ret<<3)+(ret<<1)+ch-48;
        ch=getchar();
    }
    return ret*base;
}

vector<int>v1,v2;
vector<int>go1[100005],go2[100005];
int ans,depth1[100005],depth2[100005],id1[100005],id2[100005],id_,id__;;
int n,k,x[100005],lca[100005],tree1[100005],tree2[100005],f1[100005][21],f2[100005][21];

void dfs1(int u)
{
    id1[u]=++id_;
    depth1[u]=depth1[f1[u][0]]+1;
    for(int i=1;depth1[u]-(1<<i)>=1;i++) f1[u][i]=f1[f1[u][i-1]][i-1];
    for(auto i:go1[u])
    {
        if(i!=f1[u][0]) dfs1(i);
    }
}

void dfs2(int u)
{
    id2[u]=++id__;
    depth2[u]=depth2[f2[u][0]]+1;;
    for(int i=1;depth2[u]-(1<<i)>=1;i++) f2[u][i]=f2[f2[u][i-1]][i-1];
    for(auto i:go2[u])
    {
        if(i!=f2[u][0]) dfs2(i);
    }
}

int lca_1(int x,int y)
{
    if(depth1[x]<depth1[y]) swap(x,y);
    for(int i=17;i>=0;i--)
    {
        if(depth1[x]-(1<<i)>=depth1[y]) x=f1[x][i];
    }
    if(x==y) return x;
    for(int i=17;i>=0;i--)
    {
        if(f1[x][i]!=f1[y][i])
        {
            x=f1[x][i];
            y=f1[y][i];
        }
    }
    return f1[x][0];
}

int lca_2(int x,int y)
{
    if(depth2[x]<depth2[y]) swap(x,y);
    for(int i=17;i>=0;i--)
    {
        if(depth2[x]-(1<<i)>=depth2[y]) x=f2[x][i];
    }
    if(x==y) return x;
    for(int i=17;i>=0;i--)
    {
        if(f2[x][i]!=f2[y][i])
        {
            x=f2[x][i];
            y=f2[y][i];
        }
    }
    return f2[x][0];
}

bool check(int t)
{
    int ret1,ret2,min1,max1;
    min1=t==v1[0]?v1[1]:v1[0];
    max1=t==v1[(int)v1.size()-1]?v1[(int)v1.size()-2]:v1[(int)v1.size()-1];
    ret1=lca_1(min1,max1);
    min1=t==v2[0]?v2[1]:v2[0];
    max1=t==v2[(int)v2.size()-1]?v2[(int)v2.size()-2]:v2[(int)v2.size()-1];
    ret2=lca_2(min1,max1);
    return tree1[ret1]>tree2[ret2];
}

int main()
{
    n=read();k=read();
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        x[i]=read();
        v1.push_back(x[i]);
        v2.push_back(x[i]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) tree1[i]=read();
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        f1[i][0]=read();
        go1[f1[i][0]].push_back(i);
        go1[i].push_back(f1[i][0]);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) tree2[i]=read();
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        f2[i][0]=read();
        go2[f2[i][0]].push_back(i);
        go2[i].push_back(f2[i][0]);
    }
    dfs1(1);dfs2(1);
    sort(v1.begin(),v1.end(),[](int temp1,int temp2){return id1[temp1]<id1[temp2];});
    sort(v2.begin(),v2.end(),[](int temp1,int temp2){return id2[temp1]<id2[temp2];});
    for(int i=1;i<=k;i++)
    {
        if(check(x[i])) ans++;
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}