狄利克雷卷积总结

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#数论 #狄利克雷卷积

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本文围绕狄利克雷卷积展开，先给出相关约定，接着介绍其定义。详细阐述了狄利克雷卷积的多种性质，包括结合律、交换律、逆元等，并给出证明过程。最后提到求狄利克雷卷积的复杂度为O(nlnn)。

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狄利克雷卷积

约定

$n=p1a1p2a2⋯prar\ n=p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{r}^{a_{r}}$

$a∣b\ a \mid b$ ： $a\ a$ 整除 $b\ b$

$a∤b\ a \nmid b$ ： $a\ a$ 不整除 $b\ b$

$ak∥b\ a^{k} \parallel b$ ： $ak∣b\ a^{k} \mid b$ 且 $ak+1∤b\ a^{k+1} \nmid b$

$(a,b)\ (a,b)$ 最大公约数

$[a,b]\ [a,b]$ 最小公倍数

定义

$\sum_{d \mid n} f(n) g(\frac{n}{d})=\sum_{d_{1} d_{2} =n} f(d_{1})g(d_{2})$

也可写作：

$\circ g$

这相当于一种运算。

性质

结合律

$\circ g) \circ h=f \circ(g \circ h)$

证明

$\begin{array}{crl} & &\,\,\,\,\,\,\,(f \circ g) \circ h\\& &=\sum_{d_{1} \mid n}\{ \sum_{d_{2} \mid d_{1}}f(d_{2})g(\frac{d_{1}}{d_{2}})\} g(\frac{n}{d_{1}}) \\\,\\ & &=\sum_{d_{1} d_{2} d_{3}= n} (f(d_{1})g(d_{2}))g(d_{3}) \\\,\\ & &=\sum_{d_{1} d_{2} d_{3}= n} f(d_{1})(g(d_{2})g(d_{3}))\\\,\\ & &=f \circ(g \circ h)\\\,\\ \end{array}$
证毕

交换律

$\circ g=g \circ f$

证明

$\circ g=\sum_{d_{1} d_{2} =n} f(d_{1})g(d_{2})=\sum_{d_{1} d_{2} =n} g(d_{1})f(d_{2})=g \circ f$

证毕

逆元

对于 $f\ f$ 存在 $g\ g$ 使
$\circ g = \epsilon(n)$
其中
$\epsilon(n)= [n=1]$
证明

$g(n)=\frac{1}{f(1)} \left( \left[ n=1 \right] - \sum_{i \mid n,i \neq n}f(i) g(\frac{n}{i}) \right)$

如此一来

$\sum_{d \mid n}f(d)g(\frac{n}{d})=f(1)g(n)-\sum_{d \mid n,d \neq 1}f(d)g(\frac{n}{d})=\left[ n=1 \right]$

证毕

分配率

$\circ (g + h)=f \circ g+f \circ h$

证明

$\circ (g + h)=\sum_{d_{1} d_{2} =n} f(d_{1})(g(d_{2})+h(d_{2}))=\sum_{d_{1} d_{2} =n} f(d_{1})g(d_{2})+\sum_{d_{1} d_{2} =n} f(d_{1})h(d_{2})=f \circ g+f \circ h$

数乘结合律

$\cdot f) \circ g=s \cdot (f \circ g)$

证明

$\cdot f) \circ g=\sum_{d_{1} d_{2} =n} (s\cdot f(d_{1}))g(d_{2})=s\sum_{d_{1} d_{2} =n}f(d_{1})g(d_{2})$

证毕

积性的传递性

若 $f(n),g(n)\ f(n),g(n)$ 为积性 $h=f∘g\ h=f \circ g$ 也是积性的

$\begin{array}{rcl} & &\,\,\,\,\,\,\,h(nm)\\\,\\ & &=\sum_{d \mid nm} f(d) g(\frac{nm}{d}) \\\,\\ & &=\sum_{a \mid n,b \mid m} f(ab)g(\frac{nm}{ab}) \\\,\\ & &=\sum_{a \mid n,b \mid m} f(a)g(\frac{n}{a}) f(b)g(\frac{m}{b}) \\\,\\ & &=\{ \sum_{a \mid n} f(a)g(\frac{n}{a}) \}\{ \sum_{b \mid m} f(b)g(\frac{m}{b}) \} \\\,\\ & &=h(n)h(m) \end{array}$

证毕

$f\ f$ 积性则 $f^{-1}$ 积性

证明

设 $nm>1\ nm>1$ 时有 $n′m′<nm,g(n′m′)=g(n′)g(m′)\ n'm' < nm,g(n'm')=g(n')g(m')$ 成立
$f(n)\ f(n)$ 的逆元 $g(n)=1f(1)([n=1]−∑i∣n,i≠nf(i)g(ni))\ g(n)=\frac{1}{f(1)} \left( \left[ n=1 \right] - \sum_{i \mid n,i \neq n}f(i) g(\frac{n}{i}) \right)$
$\begin{array}{rcl} & &\,\,\,\,\,\,\,g(nm) \\\,\\ & &=- \sum_{d \mid nm,d \neq 1}f(d)g(\frac{nm}{d}) \\\,\\ & &=- \sum_{a \mid n,b \mid m,ab \neq 1} f(ab) g(\frac{nm}{ab}) \\\,\\ & &=f(1)f(1)g(n)g(m)- \sum_{a \mid n,b \mid m,ab \neq 1} f(a) f(b) g(\frac{n}{a}) g(\frac{m}{b}) \\\,\\ & &=g(n)g(m)- \{ \sum_{a \mid n,a \neq 1} f(a) g(\frac{n}{a}) \} \{ \sum_{b \mid m,b \neq 1} f(b) g(\frac{m}{b}) \}\\\,\\ & &=g(n)g(m)-\epsilon(n) \epsilon(m) \\\,\\ & &=g(n)g(m) \end{array}$