23、重探有理项重写：可判定性与合流性及通用属性概念

重探有理项重写：可判定性与合流性及通用属性概念

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在项重写系统中，对于正交项重写系统（TRS）有着重要的性质。给定重写序列 $s \to^ _R t_1$ 和 $s \to^ _R t_2$，能有效地构造出一个有理项 $u$ 以及重写序列 $t_1 \to^ _R u$ 和 $t_2 \to^ _R u$，这体现了正交 TRS 的合流性。

例如，对于 $R = {p(s(x)) \to x, s(p(x)) \to x}$，它是弱正交的，存在两个临界对 $\langle p(x), p(x) \rangle$ 和 $\langle s(x), s(x) \rangle$ 且都为平凡对。但当考虑项 $t = {x = p(s(x))} \star (x)$ 时，有 $t \to_R \bot$ 和 $t \to_R p(\bot)$，由于 $\bot$ 和 $p(\bot)$ 是不同的范式且不可连接，所以该系统不是合流的。这表明弱正交 TRS 在有理项重写中可能是非合流的，上述关于正交 TRS 合流性的定理不能扩展到弱正交重写。

从有穷重写的角度看，弱正交系统的非合流性可能比较显著，但从无穷重写的角度，类似的反例在 Kennaway 等人的无穷重写方法中也能构造出来。

下面用表格总结正交 TRS 和弱正交 TRS 的合流性情况：
| TRS 类型 | 合流性 | 示例 |
| ---- | ---- | ---- |
| 正交 TRS | 合流 | 可构造出满足合流条件的有理项和重写序列 |
| 弱正交 TRS | 可能非合流 | $R = {p(s(x)) \