14、细化图重写中的胶合构造

细化图重写中的胶合构造

1. 范畴基础与拉回函子性质

在范畴理论中，我们考虑一个范畴 (G)，它需满足以下三个条件：
- (G1) ：(G) 具有所有小图表的极限。这里的小图表指的是其对象集合和态射集合都是（可能无限的）集合。
- (G2) ：(G) 具有所有有限余极限。
- (G3) ：(G) 中的所有拉回函子都有右伴随。

对于范畴 (G) 中的态射 (m : A → B)，(m^ ) 表示从 (G ↓ B) 到 (G ↓ A) 的拉回函子，(m_ ) 是其右伴随。对于 (t ∈ G ↓ A)，(m_ ) 的余单位记为 (\varepsilon_m^t : m_ (m^ (t)) → t)。拉回函子及其右伴随具有以下性质：
|性质|描述|
|----|----|
|(a)|若对象 (t ∈ G ↓ A) 是单态射，则 (m^ (t))、(m_ (m^ (t))) 和 (\varepsilon_m^t) 都是单态射。|
|(b)|若 (t) 是 (G ↓ A) 中的同构，则 (m^ (t))、(m_ (m^ (t))) 和 (\varepsilon_m^t) 都是同构。|
|(c)|若 (m) 是单态射，则对于所有 (t ∈ G ↓ A)，余单位 (\varepsilon_m^t) 是单态射。|
|(d)|若 (f) 是 (G ↓ A) 中的单态射，则 (m^ (f))