54、格问题的不可近似性研究

格问题的不可近似性研究

1. 引言

在格问题的研究中，不可近似性结果是一个重要的研究方向。通过将困难问题（如SAT）归约到格问题的间隙版本，可以证明格问题在一定因子内的不可近似性。本文将介绍一些格问题的不可近似性结果，包括最短向量问题（SVP）、最近向量问题（CVP）等。

2. 符号和问题定义

• 向量和格的表示 ：所有向量为列向量，用粗体字母表示。由基$B$生成的格$L$记为$L(B)$，$B$是一个$m\times n$的实矩阵，其列向量为基向量，且列向量线性独立（$m\geq n$）。$n$维格$L$在$\mathbb{R}^m$中可表示为$L = L(B) := {Bx | x \in \mathbb{Z}^n}$。
• 相关问题定义
  • 最短向量问题（SVP） ：给定格基$B$，求格中最短向量的长度$\lambda_1(L(B)) := \min_{x\in\mathbb{Z}^n, x\neq0} |Bx|$。
  • 最近向量问题（CVP） ：给定格基$B$和向量$z$，求向量$z$到格$L(B)$的最小距离$\text{dist}(z, L(B)) := \min_{x\in\mathbb{Z}^n} |z - Bx|$。
  • 带预处理的最近向量问题（CVPP） ：给定格$L(B)$，可对其进行任意预处理并存储多项式（关于格维度）量的信息。对于给定的点$z\in\mathb