48、可证明安全的几何：密码学中的算法与安全分析

可证明安全的几何：密码学中的算法与安全分析

在密码学领域，许多算法和方案的安全性和效率是至关重要的研究方向。本文将深入探讨一些关键的密码学算法和方案，包括Vallée算法、Rabin - PDH签名方案、压缩函数以及RSA问题中的Hensel提升等内容。

1. Vallée算法与准均匀采样

Vallée算法在几何和密码学的交叉领域有着重要应用。对于固定的(h_0 - h)值，较小的(b_i)意味着(I(a_i, b_i))有更大的半径，其腿部在准水平方向上延伸更远且更窄。Vallée证明了与腿部相交的准水平线满足准紧边界，并且与胸部或脚部相交的准水平线数量是常数。

通过积分，Vallée得到了(P(a_i, b_i))点总数的准紧边界，这些边界表明(P(a_i, b_i))点的数量与(I(a_i, b_i))的宽度准成比例。以下是从(I(a_i, b_i) \cap B_{N,h,h_0})中准均匀采样的算法步骤：
1. 近似(P(a_i, b_i))中的点数 ：
- 计算(x_0 = \lfloor \frac{a_i N}{b_i} \rfloor)。
- 精确计算胸部和脚部的点数(n_{c+f})。
- 使用Vallée的下界得到腿部点数的下界(n_l)。
2. 从(P(a_i, b_i))中选择一个点 ：
- 从([1, n_{c+f} + n_l])中均匀随机选择一个整数(t)。
- 如果(t \leq n_{c+f})，输出胸部或脚部的相应点。
- 否则，确定如果每条线都满足Vallée的下界，腿部中第((t -