7、系统稳定性分析与输入到状态稳定性条件研究

系统稳定性分析与输入到状态稳定性条件研究

1. 系统稳定性分析基础

在对系统进行稳定性分析时，我们从一个关键的系统方程入手：
[m_d (t) \ddot{x} h(t) + b {eff}(t) \dot{x} h(t) + k {eff}(t)x_h(t) = 0]
其中，(b_{eff}(t) = b_d - \frac{T}{2} k_{dis}(t))，(k_{eff}(t) = k_{dis}(t) - \frac{T}{2} \dot{k} {dis}(t))。这里的 (m_d) 代表设备的某个质量参数，(b_d) 是一个阻尼相关的参数，(k {dis}(t)) 是时变的刚度参数，(T) 则是时间相关的一个常量。

我们基于输入到状态稳定性（ISS）条件来分析该系统的稳定性，这种方法相较于被动性分析条件更为宽松。为了满足系统的 ISS 特性，我们推导出了四个子条件。基于这些子条件，我们可以设计相应的控制策略，并将采用该控制策略的触觉渲染性能与以往的方法进行对比。

2. ISS 定理与 Lyapunov 函数

对于系统 (\dot{x} = f(x, F))，其中 (x \in \mathbb{R}^n) 是系统的状态向量，(F \in \mathbb{R}^m) 是输入向量，并且假设 (f) 是局部 Lipschitz 函数，同时 (f(0, 0) = 0)。根据定理 3.1，该系统是 ISS 的，当且仅当存在一个正定且合适的 ISS - Lyapunov 函数 (V: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R})，使得不等式 (\dot{V}(x