50、线性代数复习

线性代数复习

线性代数在众多领域都有着广泛的应用，本文将对线性代数中的一些高级概念进行简要介绍，包括向量、矩阵、向量与矩阵的运算、特征值与奇异值、伪逆以及克罗内克积等内容。

1. 向量和矩阵

• 向量 ：向量是一个以列形式表示的n维数值元素数组，用小写粗体字母表示，如 $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}$。一个n维向量 $\mathbf{x}$ 属于空间 $\mathbb{R}^n$，当且仅当它的所有元素都属于实数集 $\mathbb{R}$，其定义为：
  [
  \mathbf{x} =
  \begin{bmatrix}
  x_1 \
  x_2 \
  \vdots \
  x_n
  \end{bmatrix}
  ]
  其中 $x_i \in \mathbb{R}, i = 1, 2, \ldots, n$。行向量定义为列矩阵的转置，即 $\mathbf{x}^T = [x_1, x_2, \ldots, x_n]$。
• 矩阵 ：一个 $m \times n$ 维的矩阵是一个由 $m$ 行 $n$ 列组成的数组，用大写粗体字母表示，如 $\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}$。矩阵 $\mathbf{A}$ 属于空间 $\mathbb{R}^{m\times n}$，当且仅当它的所有元素都属于实数集 $\mathbb{R}$，其定义为：
  [
  \mathbf{A} =
  \begin{bmatrix}
  a_{11}