13、旅行商问题的解决方案与优化

旅行商问题的解决方案与优化策略

sre5engineer

于 2025-08-14 12:22:34 发布

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分类专栏：探索JR：并发编程的新篇章文章标签：旅行商问题 TSP 顺序解决方案

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旅行商问题的解决方案与优化

旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）是经典的“困难”组合搜索问题。给定 n 个城市和一个 n × n 的城市间距离矩阵 dist，dist[i][j] 表示从城市 i 到城市 j 的距离，例如航空公司里程。假设每个城市之间都有直接连接，一名推销员从城市 1 出发，希望恰好访问每个城市一次，最后回到城市 1。问题的关键在于确定一条路径，使推销员的旅行距离最小。

问题复杂度与解决思路

对于 n 个城市，从城市 1 出发并结束的不同路径有 (n–1)! 条。除非 n 很小，否则这个数字会非常大。因此，我们需要寻找减少计算量的方法，并利用并行性来加速计算。

解决方案概述

有三种解决方案来解决旅行商问题：
1. 顺序解决方案 ：使用深度优先搜索来检查所有可行路径。
2. 复制工人与任务袋 ：采用并行程序，使用任务袋范式。
3. 管理者与工人 ：分布式解决方案，仅使用消息传递。

顺序解决方案

为了找到恰好访问所有城市一次的最短路径，我们需要考虑每一种可能的行程。如果从城市 1 出发，下一个可能访问的城市有 n - 1 个；从这些城市中的每一个出发，第三个可能访问的城市有 n - 2 个，依此类推。因此，我们可以用一棵树来表示所有可能的行程，城市 1 位于根节点。这棵树的深度为 n（城市数量），有 (n–1)! 个叶子节点（不同行程的数量）。

深度优先搜索

标准的检查所有路径的方法是使用深度优先搜索，通过递归、回溯算法实现。我们必须沿着一条路径一直走到叶子节点，然后部分回溯到树的上方，再沿着另一条路径走到不同的叶子节点，依此类推。例如，在四城市的搜索树中从左到右搜索，我们将按以下顺序访问四个城市：
(1, 2, 3, 4), (1, 2, 4, 3), (1, 3, 2, 4), (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (1, 4, 3, 2)

剪枝优化

在旅行商问题中，目标是找到最短行程。不需要考虑已知比目前找到的最短完整行程更长的行程。我们可以利用这一事实从树中“剪去”不可行的路径。城市数量越多，剪枝的效果就越显著。例如，在十个城市的样本数据中，剪枝可以将执行时间缩短十倍。

顺序 JR 程序

顺序解决方案由三个类组成：
- 结果类 ：最简单，只是计算结果的容器，提供打印方法来输出结果。
- 主类：读取两个命令行参数：城市数量和包含距离矩阵的文件名称。读取距离矩阵，启动计算，并输出结果。
- 计算类 ：包含四个方法。计算由 tsp 方法执行。compute 方法为每个长度为 2 的部分路径调用一次 tsp；tsp 递归地检查所有其他可行路径。visited 方法用于确定一个城市是否已经在给定路径中被访问过。update 方法用于更新最短路径。

复制工人与任务袋

在旅行商问题中，路径是独立的，因此我们可以并行评估所有路径。然而，对于大多数问题规模和机器来说，这会导致过多的并发。另一种方法是使用固定数量的工人进程共享一个任务袋。

任务袋与工人进程

每个任务包含一个部分路径、路径上的城市数量（跳数）和路径的长度。我们最初将 n - 1 个任务放入任务袋中，代表从城市 1 出发的 n - 1 个行程。每个工人反复从任务袋中取出一个任务，并将路径扩展到尚未访问的每个城市。如果新路径太长，则丢弃；如果路径不包含所有城市且还不太长，则将新路径及其长度放回任务袋中；如果路径包含所有城市且可能比目前找到的最短路径短，则更新最短路径。

程序结构

该算法的程序同样由三个类组成：
- 结果类 ：与顺序解决方案中的相同。
- 主类：与顺序解决方案中的几乎相同，不同之处在于它现在处理一个额外的命令行参数，指定要使用的工人进程数量，并将其传递给计算类。
- 计算类 ：包含一个任务袋、初始化任务袋的代码和一组 w 个工人进程。构造函数代码简单地初始化对象的 w 副本。compute 方法通过向任务袋发送所有从第一个城市出发的长度为 2 的部分路径来初始化任务袋。它在计算完成时返回结果。注意代码如何创建和注册一个静止操作 done，并等待 done 被调用，这发生在计算完成时，即任务袋为空且没有工人处于活动状态。

优化建议

如果城市数量较多（例如超过十个），该程序会生成大量的部分行程。实际上，任务袋的大小可能会变得非常大，导致程序耗尽内存。更好的方法是在任务袋中开始时放入一些固定数量的任务，例如长度为三的部分行程。然后，每个工人进程在每次迭代中提取一个部分行程，并使用前一节的顺序算法来检查从该部分行程开始的所有路径。这种方法不仅减少了任务袋所需的存储量，还增加了工人每次访问任务袋时的计算量。

管理者与工人

前一节的程序使用了共享变量，但变量不能在虚拟机之间共享。因此，我们提出了一个不使用共享变量的分布式程序。

分布式架构

每个工人由一个单独的类 TSPWorker 表示。任务袋和最短路径现在由计算类维护，该类包含一个管理者进程。工人和管理者使用异步消息传递、RPC 和会合来相互通信。

程序结构

主类和结果类 ：与前一个解决方案中的相同。
计算类 ：提供两个供工人使用的公共操作：bag 包含任务袋；newmin 由工人在认为找到新的最短路径时调用。构造函数简单地保存要使用的工人进程数量 w。compute 方法充当管理者，首先创建 w 个 TSPWorker 对象，并通过 this.remote 为每个对象传递一个对自身的远程对象引用；工人通过此引用访问 bag 和 newmin 操作。它还为每个实例传递 n 和 dist 的值，因为这些不再是共享的。管理者使用输入语句来处理 newmin 操作。当管理者收到新的最短路径时，它将该路径的长度广播给工人。

消息传递与通信

管理者使用静止操作来检测工人何时完成计算。其使用方式与前一节类似，但这里的 done 操作作为 inni 的一个分支出现。具体来说，它作为 newmin 的替代方案。done 的代码只是退出循环，这会导致结果从管理者返回。

实验与优化建议

文档中还提供了一系列练习，用于进一步探索和优化这些解决方案，例如：
1. 修改顺序程序，使其不进行剪枝，比较执行时间。
2. 修改顺序程序，使用布尔数组维护城市的访问状态。
3. 运行并行程序，生成不同数量城市的测试数据，分析性能。
4. 修改程序，实现显式终止检测。
5. 研究启发式算法，如最近邻算法、最近插入算法等，并与文中的程序进行性能比较。

通过这些练习，我们可以更深入地理解旅行商问题的解决方案，并根据实际需求进行优化。

总结

旅行商问题是一个具有挑战性的组合搜索问题，通过不同的解决方案和优化策略，我们可以在一定程度上减少计算量并提高计算效率。顺序解决方案适用于小规模问题，而并行和分布式解决方案则更适合大规模问题。同时，启发式算法可以在较短的时间内提供近似解决方案，适用于对时间要求较高的场景。

流程图

graph TD;
    A[开始] --> B[选择解决方案];
    B --> C{顺序解决方案};
    B --> D{复制工人与任务袋};
    B --> E{管理者与工人};
    C --> F[深度优先搜索];
    C --> G[剪枝优化];
    D --> H[任务袋初始化];
    D --> I[工人进程处理];
    E --> J[管理者与工人通信];
    E --> K[消息传递];
    F --> L[找到最短路径];
    G --> L;
    H --> M[更新最短路径];
    I --> M;
    J --> N[更新最短路径];
    K --> N;
    L --> O[输出结果];
    M --> O;
    N --> O;
    O --> P[结束];

表格

解决方案	适用场景	优点	缺点
顺序解决方案	小规模问题	实现简单	计算量大，效率低
复制工人与任务袋	中等规模问题	利用并行性，提高效率	任务袋可能耗尽内存
管理者与工人	大规模问题	分布式处理，可扩展性强	通信开销大

启发式算法比较

启发式算法	实现思路	优点	缺点
最近邻算法	从城市 1 开始，每次访问最近的未访问城市	实现简单，计算速度快	结果可能不是最优
最近插入算法	找到最接近的城市对，插入最近的未访问城市	结果相对较好	计算复杂度较高
平面分区算法	将平面划分为条带，并行计算最小成本行程	可并行处理，适用于大规模问题	分区策略可能影响结果

深入探讨启发式算法

除了前面提到的最近邻算法、最近插入算法和平面分区算法这几种启发式算法，还有许多其他的启发式算法和局部优化技术可用于解决旅行商问题。下面我们详细分析这几种算法的操作步骤和特点。

平面分区算法

操作步骤 ：
1. 将平面划分为若干个条带，每个条带包含一定数量的城市。
2. 并行地在每个条带中找到从一端到另一端的最小成本行程。在奇数编号的条带中，行程从顶部到底部；在偶数编号的条带中，行程从底部到顶部。
3. 将所有条带的行程连接起来。
优点：可并行处理，适用于大规模问题，能充分利用多核处理器的计算能力。
缺点：分区策略可能影响结果，如果分区不合理，可能导致最终结果偏差较大。

实验分析与性能比较

为了更直观地了解这些算法的性能，我们可以进行一系列实验。以下是实验的具体步骤和可能的结果分析。

实验步骤

生成测试数据 ：生成不同数量城市的测试数据，例如 5 个、10 个、20 个、50 个城市等。可以使用随机生成的距离矩阵，也可以使用实际的城市距离数据，如航空公司的里程数据。
运行算法 ：分别运行顺序解决方案、复制工人与任务袋解决方案、管理者与工人解决方案以及各种启发式算法。
记录结果 ：记录每个算法的执行时间和得到的行程长度。
分析结果 ：比较不同算法在不同规模问题上的执行时间和行程长度，分析它们的优缺点和适用场景。

可能的结果分析

小规模问题 ：顺序解决方案可能表现较好，因为其实现简单，不需要额外的并行处理开销。启发式算法中的最近邻算法也能快速得到一个可行的解决方案，但结果可能不是最优。
中等规模问题 ：复制工人与任务袋解决方案可以利用并行性提高效率，但任务袋可能会耗尽内存。最近插入算法可能会得到比最近邻算法更好的结果，但计算时间会更长。
大规模问题 ：管理者与工人解决方案的分布式处理能力使其具有更好的可扩展性，但通信开销可能会影响性能。平面分区算法可以充分利用并行性，在大规模问题上表现较好。

优化建议与注意事项

在实际应用中，我们可以根据具体情况对这些算法进行优化。以下是一些优化建议和注意事项。

顺序解决方案

剪枝优化 ：充分利用剪枝技术，减少不必要的计算。在实际应用中，剪枝可以显著减少执行时间。
数据结构优化 ：使用合适的数据结构来存储路径和访问状态，例如布尔数组可以更高效地判断一个城市是否已经被访问。

复制工人与任务袋解决方案

任务袋大小控制 ：避免任务袋过大导致内存耗尽。可以在任务袋中开始时放入固定数量的任务，如长度为三的部分行程。
负载均衡 ：确保每个工人进程的负载均衡，避免某些工人进程空闲而其他工人进程忙碌的情况。

管理者与工人解决方案

通信优化 ：减少管理者与工人之间的通信开销，例如合理安排消息传递的频率和内容。
终止检测优化 ：实现显式终止检测，避免依赖自动分布式终止检测功能。

启发式算法

参数调整 ：对于一些启发式算法，如平面分区算法，调整分区参数可能会得到更好的结果。
组合使用 ：可以将不同的启发式算法组合使用，例如先使用最近邻算法得到一个初始解，然后使用局部优化技术对解进行进一步优化。

流程图：启发式算法执行流程

graph TD;
    A[开始] --> B{选择启发式算法};
    B --> C{最近邻算法};
    B --> D{最近插入算法};
    B --> E{平面分区算法};
    C --> F[从城市 1 开始];
    C --> G[每次访问最近未访问城市];
    C --> H[回到城市 1];
    D --> I[找到最近城市对];
    D --> J[插入最近未访问城市];
    D --> K[回到城市 1];
    E --> L[平面分区];
    E --> M[并行计算条带行程];
    E --> N[连接行程];
    H --> O[输出结果];
    K --> O;
    N --> O;
    O --> P[结束];

表格：不同规模问题下算法性能比较

问题规模	顺序解决方案	复制工人与任务袋	管理者与工人	最近邻算法	最近插入算法	平面分区算法
小规模（5 - 10 个城市）	执行时间短，结果较优	并行开销大，效率低	通信开销大，不适用	执行时间短，结果一般	执行时间较长，结果较好	分区开销大，不适用
中等规模（10 - 50 个城市）	计算量大，效率低	可能耗尽内存	可扩展性好	执行时间短，结果一般	执行时间较长，结果较好	可并行处理，结果较好
大规模（50 个以上城市）	不可行	内存问题严重	通信开销大	结果偏差大	计算复杂度高	可并行处理，结果较好

总结与展望

旅行商问题是一个经典的组合优化问题，在物流、交通、电路设计等领域有广泛的应用。通过本文介绍的多种解决方案和启发式算法，我们可以在不同规模的问题上找到合适的解决方法。在实际应用中，我们需要根据问题的特点和需求选择合适的算法，并进行必要的优化。未来，随着计算机技术的不断发展，我们可以期待更高效的算法和优化策略的出现，进一步提高旅行商问题的解决效率。同时，将这些算法与人工智能、机器学习等技术相结合，也可能为旅行商问题的解决带来新的突破。