28、模拟滤波器设计与调谐技术解析

模拟滤波器设计与调谐技术解析

1. 滤波器电路缩放与特性

在滤波器设计中，电路缩放是一项重要的操作。当对如图所示的电路进行缩放时，我们会针对不同节点进行不同程度的增益调整。例如，对于节点 X1（对应图中标记为 –V2 的节点），我们将增益提高一个因子 k1，具体操作是将输入电阻 rin 除以 k1，得到新的输入电阻 rin = 404.720 / k1 = 12.161 kΩ，而电阻 r1 = 404.72 kΩ 保持不变。对于节点 X2（对应标记为 –V3 的节点），增益提高因子 k2，此时 r2 = 198.820 / k2 = 323.10 kΩ，r3 = 404.720k2 = 249.043 kΩ。最后对于节点 X3（对应标记为 V4 的节点），增益提高因子 k3 = 2.082684，得到 r4 = 198820k3 = 414.079 kΩ，r5 = 404.720 / k3 = 194.326 kΩ，r6 = 404.720 kΩ 保持不变。通过这样的缩放操作，我们可以调整滤波器的性能，使其满足特定的设计要求。

2. 几何对称带通蛙跳滤波器

几何对称带通蛙跳滤波器的实现方法较为独特。首先，我们需要将信号流图合成对应的低通滤波器，这一步骤是整个实现过程的基础。然后，进行低通 - 带通（LP - BP）变换，就像示例中所展示的那样。在这个过程中，低通滤波器中的积分器会被转换为二阶传递函数，这些二阶传递函数可以根据之前讨论的部分进行实现。通过这种方式，我们可以得到满足特定频率响应要求的带通滤波器。

3. 跨导器实现的低通滤波器

蛙跳结构非常适合使用跨导器来实现。其基本原理与之前描述的类似，但需要考虑一些额外的约束条件。我们希望所有跨导器具有相同的跨导，这样可以简化调谐过程。同时，由于所有电容器都接地，能够减少因底板寄生效应导致的不准确问题。以图所示的梯形网络为例，对于参考滤波器，存在一系列的电流和电压关系：
[
\begin{cases}
I_1 = Y_1(V_{in} - V_2) \
V_2 = Z_2(I_1 - I_3) \
I_3 = Y_3(V_2 - V_4) \
V_4 = Z_4(I_3 - I_5) \
I_5 = Y_5(V_4 - V_{out}) \
V_{out} = Z_6I_5
\end{cases}
]
在使用有源 RC 技术实现时，将电流关系乘以一个任意常数 R0，使所有关系描述电压。同样地，这里将其除以一个公共常数 gm，得到：
[
\begin{cases}
V_1 = \frac{Y_1}{gm}(V_{in} - V_2) \
V_2 = gmZ_2(V_1 - V_3) \
V_3 = \frac{Y_3}{gm}(V_2 - V_4) \
V_4 = gmZ_4(V_3 - V_5) \
V_5 = \frac{Y_5}{gm}(V_4 - V_{out}) \
V_{out} = gmZ_6V_5
\end{cases}
]
这些关系仅描述电压，其中因子 (Y_i/gm) 和 (gmZ_i) 表示传递函数，记为 (H_i)。上述方程可以写成一般形式 (V_i = H_i(V_{i - 1} - V_{i + 1}))，其中 (V_0 = V_{in})，且
[
H_i =
\begin{cases}
\frac{Y_i}{gm}, & i = 奇数 \
gmZ_i, & i = 偶数
\end{cases}
]
这些方程由信号流图表示，在这种情况下，所有反馈系数都等于 –1，易于实现。传递函数 (H_i) 可以通过一个带有接地阻抗的跨导器来实现。需要注意的是，对于奇数的接地阻抗 (Z_i’) 与原始参考滤波器中的元件不同，并且可以对所有跨导器使用相同的跨导，这样我们就可以使用单个控制电路来控制所有跨导器。此外，一些阻抗将是接地电容器，这是有利的，但其余阻抗必须通过有源电路来实现。

4. 具有有限零点的低通滤波器

低通 LC 滤波器如果具有有限零点，会包含 RY 或 GZ 分支，其中 Y 和 Z 分别是并联和串联谐振电路。以并联谐振情况为例，(RY = \frac{R}{sL + sRC})，第一项表示积分器并联，第二项表示微分器。对于 GZ 和串联谐振电路的情况，同样会得到积分器与微分器并联的结果。因此，具有有限零点的低通 LC 滤波器不能直接使用上述方法实现，因为对应的蛙跳结构会包含微分器，而微分器的增益会随频率增加，不适合使用。

不过，没有有限零点的几何对称带通滤波器可以通过将积分器替换为二阶部分来实现，即进行低通到带通的变换，就像示例中所做的那样。对于具有有限零点的滤波器，可以通过修改上述方法来实现。具体来说，可以不使用串联臂中的电流作为状态变量，而是仅使用相应串联电感中的电流。

对于奇数阶低通滤波器具有有限零点的情况，我们通过一个三阶 π 型梯形电路的例子来解释。该电路中串联臂的电流和并联臂的电压存在以下关系：
[
\begin{cases}
RI_1 = R(V_{in} - V_1) \
V_1 = \frac{1}{sRC_1}(RI_1 - RI_2) \
RI_2 = RY_2(V_1 - V_3) \
V_3 = \frac{1}{sRC_3}(RI_2 - RI_4) \
RI_4 = RV_{out}
\end{cases}
]
其中 (Y_2 = sC_2 + \frac{1}{sL_2})。设 (I_L) 表示串联电感中的电流，则 (RI_2 = RY_2(V_1 - V_3) = (sC_2 + \frac{1}{sL_2})R(V_1 - V_3) = sRC_2(V_1 - V_3) + RIL)，其中 (I_L = \frac{(V_1 - V_3)}{sL_2})。通过消除电流 (I_3)，可以得到：
[
V_1 = \frac{1}{sR(C_1 + C_2)}(RI_1 - RIL) + \frac{C_2}{(C_1 + C_2)}V_3
]
同样地，
[
V_3 = \frac{1}{sR(C_2 + C_3)}(RIL - RI_4) + \frac{C_2}{(C_2 + C_3)}V_1
]
这些方程对应一个特定的电路，每个并联臂包含一个电压控制电压源（VCVS）和一个电容值经过修改的电容器，串联臂被一个带有电流 (I_L) 的电感 (L_2) 所取代。该网络由信号流图表示，其中两个 VCVS 由具有传输系数 (k_1 = -C_2 / a_1) 和 (k_2 = -C_2 / a_2) 的分支表示，其中 (a_1 = C_1 + C_2)，(a_2 = C_2 + C_3)。可以使用如图所示的电路来实现上述方程，其输出电压为：
[
V_{out} = -\frac{V_1}{sr_1c_2} - \frac{V_2}{sr_2c_2} - \frac{c_1V_3}{c_2}
]
实现有限零点所需的电容为 (c_1 = C_1 + C_2)，(c_2 = \frac{C_2}{(C_1 + C_2)})，(c_4 = C_2 + C_3)，(c_5 = \frac{C_2}{(C_2 + C_3)})。为了降低运算放大器对带宽的要求，使用带有有源补偿的正积分器会更好。对于更高阶的低通梯形滤波器具有有限零点的情况，可以以相同的方式推导，即使用串联臂中电感的电流和并联臂的电压作为状态变量。

对于偶数阶低通滤波器具有有限零点的情况，上述技术不能直接使用，需要进行一些修改。我们通过一个四阶滤波器的例子来展示设计方法。经过推导得到对应的等效网络和信号流图，以及相应的蛙跳实现电路。

5. 滤波器设计问题

在滤波器设计过程中，还存在一系列问题需要解决，这些问题有助于我们进一步理解和应用滤波器设计技术：
1. 推导参考滤波器和蛙跳滤波器中元件之间的关系。
2. 计算双积分器环路中的 Q 因子，并与示例中的切比雪夫 I 型滤波器的 Q 因子进行比较。
3. 使用 π 型 LC 梯形作为参考滤波器，合成一个满足特定规格的有源蛙跳切比雪夫 I 型滤波器，规格包括通带 0 ≤ f ≤ 4 kHz，最大衰减 Amax = 0.1 dB，阻带 f > 12 kHz，最小衰减 Amin = 20 dB，同时给出元件值 Rs = RL = 1 kΩ，C1 = C3 = 41 nF，L2 = 45.7 mH。
4. 使用图中的滤波器作为参考滤波器，合成相应的有源蛙跳滤波器，给出元件值 Rs = RL = 1 kΩ，L1 = 647 mH，C2 = 57 nF，并尽量使用 10 nF 的电容器和 10 kΩ 的电阻器。
5. 将示例中的巴特沃斯滤波器实现为蛙跳滤波器。
6. 展示如何将示例中的信号流图转换为中心频率为 10 kHz、带宽为 2 kHz 的对称几何带通滤波器。
7. 当滤波器要实现传递函数 C040522b 且截止边缘为 ωc = 100 krad/s 时，确定图中蛙跳滤波器的元件值。
8. 推导三阶 T 型梯形的蛙跳实现，并与对应的 π 型梯形推导的蛙跳滤波器结果进行比较。
9. 确定示例中推导的实现所需的合适元件值。
10. 确定示例中推导的实现所需的合适元件值。
11. 使用图中的电路实现具有 ωc = 150 krad/s 的考尔滤波器 C031516，先确定合适的元件值，然后对信号电平进行缩放以最大化动态信号范围。
12. 从所有零点位于 s = 0 的三阶高通梯形推导蛙跳滤波器。
13. 确定图中电路的合适输出节点。

6. 滤波器调谐技术

6.1 调谐的必要性

在模拟滤波器的实现中，通常会使用匹配组件来减少组件误差、温度和电源电压变化等因素的影响。例如，采用特殊的放大器对称布局来减少性能参数的分散，并在较大的温度和电源电压范围内实现跟踪。同时，选择电阻和电容的温度系数相等但符号相反，使 RC 乘积不受温度影响。然而，大多数滤波器，特别是集成电路实现的滤波器，仍然需要进行参数值的调谐。因为不同芯片之间以及温度和电源电压变化时，组件元件值会有很大的变化。调谐需要一个或多个控制电路以及一个测量和调整滤波器特性的方案，以满足性能要求。即使对于性能要求适中的滤波器，也通常需要某种形式的片上调谐。调谐电路可能会占用芯片面积的 10 - 20%，并且可能会消耗相当大的功率，因此设计和实现这样的控制电路是一个具有挑战性的问题。这里我们只讨论最常用的调谐方法，更先进的基于数字信号处理技术的方法超出了本文的范围，但随着技术的进步，这些方法可能会成为更可行的选择。

在实际应用中，存在在线和离线调谐两种不同的情况。在一些应用中，调谐必须连续进行，即在滤波器进行滤波操作时进行，此时无法施加特殊的测试信号，这种情况称为在线调谐。而在其他应用中，如硬盘的读取通道，滤波器只有在有限的时间段内有有效输入信号，在这些有效时间段之间，可以施加测试信号并进行调谐，因为调谐过程可能只需要很短的时间，这种情况称为离线调谐。

6.2 组件误差

组件误差对滤波器的频率响应有重要影响，其大小取决于实现组件的技术。

绝对组件误差方面，集成电阻和电容的绝对值可能会有 20% 或更大的误差，集成放大器的增益 - 带宽积的公差通常为 50%。因此，集成滤波器通常需要在制造后进行调谐。离散电阻的误差可以低至 0.1%，但价格昂贵，而电容器通常误差较大。此外，某些技术中电阻可以进行微调。

比率误差方面，幸运的是，经过精心设计的组件可以以非常精确的组件比率进行集成。例如，对于采用多晶硅 - 氧化物 - 多晶硅布局的电容器，可以实现低至 0.1% 或更好的电容比率精度。通过基于单位尺寸电容器阵列的特殊布局技术，可以实现高精度的比率。对于电阻器也可以实现类似的精度。开关电容滤波器和其他开关电容电路（如 ADC）的成功，得益于集成电容器可以以非常精确的组件比率制造，因此无需进行微调。两个相同跨导器的跨导比率对于中等跨导可能优于 1%。为了实现跨导比率的高精度并简化调谐，跨导被量化为小整数乘以公共跨导，例如 (ng_{m0})。一个跨导为 (g_m = 3g_{m0}) 的跨导器可以如图所示实现。

6.3 虚拟组件

跨导器的输入和输出电容会因工艺变化和工作条件而有很大的变化，这些电容会影响滤波器的频率响应。对于需要大 (g_m/C) 比率的高频应用，为了实现具有大半径的极点对，电容器会变得很小。同时，跨导器需要有高输出电流以更快地对电容负载进行充电和放电，这需要更大的晶体管，从而产生更大的寄生电容。因此，对于高频应用，我们不得不接受寄生电容不再可以忽略的事实。在这种情况下，可以使用虚拟跨导器来使有效电容负载独立于这些电容。以一个从并联谐振 RLC 电路派生的电路为例，假设 (Q = 0.5) 且 (H_{LP}(0) = 1)，其带通传递函数为：
[
H_{BP}(s) = -\frac{g_{m1}}{C_1}\frac{s}{s^2 + \frac{g_{m2}}{C_1}s + \frac{g_{m3}g_{m4}}{C_1C_2}}
]
低通传递函数为：
[
H_{LP}(s) = -\frac{g_{m1}g_{m3}}{C_1C_2}\frac{1}{s^2 + \frac{g_{m2}}{C_1}s + \frac{g_{m3}g_{m4}}{C_1C_2}}
]
我们选择 (C_1 = C_2 = C)，(g_{m1} = g_{m3} = g_{m4} = g_{m0})，(g_{m2} = 2g_{m0})。因此，(r_p = \frac{g_{m0}}{C})，由于假设 C 是固定的，我们可以通过 (g_{m0}) 来调谐电路。考虑低通和带通节点的电容，有 (C_{LP} = C_2 + C_{out3} + C_{in4})，(C_{BP} = C_1 + C_{out1} + C_{out2} + C_{out4} + C_{in2} + C_{in3})。因为 (g_{m2} = 2g_{m0})，即两个相同的跨导器 (g_{m0}) 并联，所以 (C_{out2} = 2C_{out1})，(C_{in2} = 2C_{in1})，简化后得到 (C_{LP} = C + C_{out} + C_{in})，(C_{BP} = C + 4C_{out} + 3C_{in})。

综上所述，模拟滤波器的设计和调谐是一个复杂而关键的过程，涉及到电路缩放、不同类型滤波器的实现、组件误差处理以及调谐技术等多个方面。通过合理运用这些技术，我们可以设计出满足各种性能要求的滤波器。

模拟滤波器设计与调谐技术解析

7. 滤波器设计与调谐的关键要点总结

为了更清晰地理解滤波器设计与调谐过程中的关键要点，我们将前面的内容进行总结，以表格形式呈现：
| 方面 | 关键要点 |
| ---- | ---- |
| 电路缩放 | 针对不同节点调整增益，改变电阻值以调整滤波器性能 |
| 几何对称带通滤波器 | 先合成低通滤波器，再进行 LP - BP 变换，将积分器转换为二阶传递函数 |
| 跨导器实现低通滤波器 | 希望跨导器跨导相同以简化调谐，利用接地电容减少寄生效应，部分阻抗用有源电路实现 |
| 有限零点低通滤波器 | 有有限零点的低通 LC 滤波器不能直接用常规方法，可修改方法，用串联电感电流作状态变量 |
| 滤波器设计问题 | 涉及元件关系推导、Q 因子计算、滤波器合成、元件值确定等多种问题 |
| 调谐技术 | 分在线和离线调谐，组件有绝对误差和比率误差，高频应用用虚拟跨导器处理寄生电容 |

8. 滤波器设计与调谐流程

下面通过 mermaid 格式的流程图来展示滤波器设计与调谐的大致流程：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px

    A([开始设计滤波器]):::startend --> B{选择滤波器类型}:::decision
    B -->|几何对称带通| C(合成低通滤波器):::process
    B -->|跨导器低通| D(考虑跨导器约束):::process
    B -->|有限零点低通| E(处理有限零点问题):::process
    C --> F(进行 LP - BP 变换):::process
    D --> G(确定传递函数和信号流图):::process
    E --> H(使用串联电感电流作状态变量):::process
    F --> I(实现二阶传递函数):::process
    G --> J(用跨导器和接地阻抗实现):::process
    H --> K(推导电路关系和元件值):::process
    I --> L(进行电路缩放):::process
    J --> L
    K --> L
    L --> M{是否需要调谐}:::decision
    M -->|是| N(选择调谐方式):::process
    M -->|否| O([完成设计]):::startend
    N -->|在线调谐| P(连续调谐，无测试信号):::process
    N -->|离线调谐| Q(在空闲时段施加测试信号调谐):::process
    P --> R(调整滤波器参数):::process
    Q --> R
    R --> O

9. 滤波器设计与调谐的实际应用考虑

在实际应用中，滤波器的设计与调谐需要考虑多个方面的因素，以下是一些具体的考虑点：
1. 性能要求 ：不同的应用场景对滤波器的性能要求不同，如通带、阻带的频率范围，最大和最小衰减等。在设计滤波器时，需要根据具体的性能要求来选择合适的滤波器类型和设计方法。
2. 成本因素 ：滤波器的设计涉及到元件的选择和使用，不同的元件成本不同。例如，离散电阻误差低但价格昂贵，而集成元件可能存在较大误差但成本较低。在设计时需要在性能和成本之间进行权衡。
3. 芯片面积和功耗 ：对于集成电路实现的滤波器，调谐电路会占用芯片面积并消耗功率。在设计调谐电路时，需要尽量减小其面积和功耗，以提高芯片的整体性能。
4. 技术发展 ：随着技术的不断进步，新的设计方法和技术不断涌现。例如，基于数字信号处理技术的调谐方法可能会在未来成为更可行的选择。在设计滤波器时，需要关注技术发展趋势，以便采用更先进的技术来提高滤波器的性能。

10. 未来发展趋势展望

模拟滤波器的设计与调谐技术在不断发展，未来可能会呈现以下几个发展趋势：
1. 数字化融合 ：随着数字信号处理技术的不断发展，模拟滤波器可能会与数字技术更加紧密地融合。例如，采用数字辅助的调谐方法可以提高调谐的精度和灵活性。
2. 集成化与小型化 ：为了满足日益增长的便携式设备和物联网应用的需求，滤波器将朝着集成化和小型化的方向发展。这将要求在设计中更加注重芯片面积的减小和功耗的降低。
3. 智能化调谐 ：未来的滤波器可能会具备智能化调谐的能力，能够自动根据环境变化和性能要求进行调谐，提高滤波器的自适应能力。
4. 高性能材料应用 ：新型高性能材料的应用可能会改善滤波器的性能。例如，使用具有低损耗和高 Q 值的材料可以提高滤波器的频率选择性和衰减特性。

通过对模拟滤波器设计与调谐技术的深入研究和不断探索，我们可以更好地满足各种应用场景对滤波器的需求，推动相关领域的技术发展。