56、利用Isabelle/HOL形式化纽结理论

利用Isabelle/HOL形式化纽结理论

1. 引言

本文聚焦于在Isabelle/HOL中对纽结理论里部分重要定义和结果进行形式化。选择交互式证明助手和实现逻辑，是基于该逻辑的高表达性、形式证明语言（Isar）的存在以及合理有效的自动化。已形式化的定义涵盖了链环、链环等价和带框链环。带框链环指的是每个纽结被视为由丝带而非绳子构成的链环。为简洁起见，本文省略了形式化中的许多定义和结果。本文最重要的贡献是构造并证明了考夫曼括号（Kauffman bracket）或括号多项式的不变性，它是带框链环的一个不变量，与琼斯多项式密切相关。

形式化纽结理论具有重要意义，原因如下：
1. 这或许是首次在交互式证明助手中对纽结理论的结果进行形式化。纽结理论与数学其他分支的深度关联，也有助于开发各种支持库。例如，该项目推动了矩阵张量积形式化理论的发展。
2. 鉴于纽结理论对计算机生成结果的依赖，无论是用于识别平凡纽结还是计算不变量，开发经过形式验证的代码和理论对于增强对这些结果的信任至关重要。

2. 预备知识

2.1 标准定义

这里介绍纽结理论的一些基本概念，遵循大多数标准教科书的定义。
- 纽结 ：纽结 $K$ 定义为光滑、单射映射 $h : S^1 → S^3$ 的像，且对于所有 $\theta \in S^1$，有 $h’(\theta) \neq 0$。有向纽结是指带有指定曲线方向的纽结，方向用曲线上的箭头表示。纽结定义在三维球面 $S^3$ 而非 $R^3$ 中，因为 $S^3$ 是紧致的，纽结管状邻域的补集是三维流形拓扑研究的重要对象。
- 链