42、均摊复杂度验证与基于属性的测试基础

均摊复杂度验证与基于属性的测试基础

1. 均摊复杂度验证

1.1 均摊分析

我们对Okasaki的均摊分析进行验证。计时函数 tpart 和 tdm 分别用于统计 partition 和 del min 的调用次数。树的势的定义与伸展树的定义类似。

均摊复杂度的对数界 $A_{p}(t) = t_{part}(p, t) + \Phi(l’) + \Phi(r’) - \Phi(t)$ 通过对 partition(t) 进行计算归纳来证明。若 bsteq(t) 且 partition(p, t) = (l', r') ，则 $A_{p}(t) \leq 2 * \phi(t) + 1$。

Okasaki展示了归纳的之字形（zig - zig）情况，这里我们展示图6中的曲折形（zig - zag）情况。假设递归调用 partition(p, S) = (S1, S2) ，则有：
$A_{p}(A) = A_{p}(S) + 1 + \phi(B’) + \phi(A’) - \phi(B) - \phi(A)$
$\leq 2 * \phi(S) + 2 + \phi(B’) + \phi(A’) - \phi(B) - \phi(A)$（根据归纳假设）
$= 2 + \phi(B’) + \phi(A’)$（因为 $\phi(S) < \phi(B)$ 且 $\phi(S) <