20、随机点集高度的实验评估与最近邻搜索新方法研究

随机点集高度的实验评估与最近邻搜索新方法研究

1. 随机点集高度实验评估

1.1 算法原理

在处理随机点集高度的问题时，会构建高度为 1 的链，以自身作为起点和终点。新输入的点会与工作集中的每个点进行比较，找到能由该点延续的最高链。同时，每个点还会与屏障进行比较，若点在屏障下方，要么从工作集中移除，要么在其高度大于当前屏障点高度时替换屏障点。经过每次迭代，工作集仅包含屏障点和不在当前屏障下方的点。由于 n 个点均匀分布在空间 $V_d(r)$ 中，预计工作集包含 $rn$ 个点。算法每次处理新生成的点时都要遍历工作集，因此预计的点比较次数为 $O(rn^2)$。使用较小的 $r$ 不仅会增加虚拟点的数量 $n^*$，还能按 $r$ 的倍数减少内存需求和计算量。

1.2 实验设置

进行了计算机模拟实验，以验证增强算法相比直接蒙特卡罗方法能显著提高效率，以及协同收敛实验结合增强算法可快速收敛估计值 ${c_d(n, r)}$。以 $d = 3$ 为例进行说明，同时也对 $d = 2, 4, 5, 6$ 进行了实验，结果类似。
- 第一组模拟 ：使用以下表格中的 $n$ 和 $r$ 值计算 $\overline{c_d(n, r)}$。
| $n$ | $r$ |
| ---- | ---- |
| 50000 | 0.01, 0.02, 0.06, 0.08, 0.10, 0.14, 0.20, 0.30, 1.00 |
| 100000 | 0.01, 0.02, 0.06, 0.08, 0.10, 0.14, 0.20, 0.30, 1.00 |
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