47、Autosubst：基于 de Bruijn 项和并行替换的推理

Autosubst：基于 de Bruijn 项和并行替换的推理

1. 理论基础与证明思路

在推理过程中，有时需要通过归纳法证明形如 ( s_1[\Uparrow(t_1 \cdot \text{id})] \triangleright s_2[\Uparrow(t_2 \cdot \text{id})] ) 的式子。一种有效的方法是对所有单索引替换进行考虑，即把索引 ( k ) 替换为项 ( s ) 的替换，可表示为 ( \Uparrow^k(s \cdot \text{id}) )。进一步还需对形如 ( \Uparrow^k(\uparrow^l) ) 的移位替换证明类似引理，但更好的策略是对所有替换进行引理的泛化。

1.1 强替换性引理

强替换性引理表述为：对于所有项 ( s \triangleright t ) 和替换 ( \sigma \triangleright \tau )，有 ( s[\sigma] \triangleright t[\tau] )。该引理的证明通过对 ( s \triangleright t ) 的推导进行归纳。在处理绑定器的情况时，需要证明 ( \sigma \triangleright \tau ) 能推出 ( \Uparrow\sigma \triangleright \Uparrow\tau )，这可通过对重命名特化的引理来证明。在 ( \beta ) - 归约的情况中，需要证明替换引理 ( s[\Uparrow\tau][t[\tau] \cdot \text{id}] = s[t \cdot \text{id}][\tau] )，此等式可根据 ( \sigma ) - 演算的公理，将等式两边重写为标准形式 ( s[t[\tau]