21、概率测度与随机变量空间的深入探究

概率测度与随机变量空间的深入探究

1. 概率测度空间相关结果

在概率测度空间中，有如下重要结论：
[
\sup_{\alpha>0}\limsup_{n}\sup_{A\in B_S}(P(A) - R_{k_n}(A(\alpha))) = \sup_{\alpha>0}\limsup_{n}\sup_{A\in B_S}(P(A) - P_{k_n}(A(\alpha)) + \varepsilon_{k_n}(P_{k_n} - Q_{k_n})(A(\alpha)))
]
[
\leq\sup_{\alpha>0}\limsup_{n}\sup_{A\in B_S}(P(A) - P_{k_n}(A(\alpha))) + \varepsilon\leq(\chi_w^{rsc}(\Gamma) + \delta) + \varepsilon
]

2. 随机变量空间

设((\Omega, \mathcal{A}, P))是一个固定的概率空间，(\mathcal{R}(S))是(\Omega)上所有(S)值随机变量的集合。
- 拓扑与度量 ：
- 重要的拓扑是概率收敛拓扑(T_p)。
- 自然的度量是指标度量(d_I)，定义为(d_I(\xi, \eta) := P({d(\xi, \eta) > 0}) = P({\xi \neq \eta}))，且(d_I(\xi, \eta) = 0)当且仅当(\xi)和(\eta)几乎处处相等。
- 逼近结构 ：
- 考虑