3、探索逼近空间中的对象与结构转换

探索逼近空间中的对象与结构转换

在数学领域的逼近空间研究中，存在着多种不同类型的结构，如距离、极限算子、逼近系统、规范、塔、上下壳算子、上下正则函数框架以及泛函理想收敛等。这些结构虽然在概念和技术层面上各有不同，但它们之间却存在着等价关系。下面我们将深入探讨这些结构以及它们之间的转换关系。

1. 基本结构与等价性概述

逼近空间中的结构可以通过不同的方式来定义，而这些定义方式之间存在着内在的联系，使得它们能够相互推导。例如，给定一个距离结构，我们可以通过特定的公式推导出与之相关的极限算子、逼近系统、规范等其他结构。这种等价性为我们在不同场景下选择合适的结构来描述和研究逼近空间提供了便利。

2. 距离与极限算子的等价性

• 距离到极限算子的转换（D ⇒ L） ：若 $\delta : X \times 2^X \to P$ 是集合 $X$ 上的距离，则函数 $\lambda : F(X) \to PX$ 定义为 $\lambda(F) = \sup_{U\in\sec F} \delta U$ 是 $X$ 上的极限算子。并且，对于任意 $x \in X$ 和 $A \in 2^X$，有 $\delta(x, A) = \inf_{U \in U(A)} \lambda U(x)$。
  • 证明思路 ：
    • 性质 (L1) ：由距离的性质 (D1) 可直接推出。
    • 性质 (L2) ：通过对滤子族的运算和上确界的性