19、直接方法求解最优控制问题

直接方法求解最优控制问题

1. 直接转录方法概述

直接转录方法是求解最优控制问题的一类知名方法，也被称为“离散化后优化”方法，因为问题的离散化是优化过程的前置阶段。在离散化过程中，状态方程的离散化会使用到如Runge - Kutta方法、样条法、配点法等，而目标函数的计算则会采用数值积分方法，如梯形法则或辛普森法则。

其中，控制参数化技术（CPT）是一种高效的直接转录方法。在CPT中，时间域会被一系列切换点划分，在这些切换点上评估控制变量，然后每个切换区间会被多个求积点划分，在这些求积点上评估状态变量。在每个切换区间内，控制变量会被近似为常数或线性分段连续函数。

离散化阶段结束后，最优控制问题会转化为一个大或中等规模的有限维非线性规划问题（NLP），可以使用任何非线性规划软件来求解，如MATLAB的优化工具箱、SQP、FSQP等。

1.1 问题陈述

考虑如下形式的最优控制问题：
[
\min_{u\in U}\phi(x(t_f))+\int_{t_0}^{t_f}L_0(x(t),u(t))dt
]
约束条件为：
- 动力学方程：(\dot{x}(t) = f(x(t),u(t)))
- 初始条件：(x(t_0) = x_0)
- 状态不等式约束：(I(x(t)) \leq 0)
- 状态等式约束：(E(x(t)) = 0)
其中，(x,\phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n)，(u : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^m)，(x_0 \in \mathbb{R}^n)，(I : \mathbb{R}^n \