15、常微分方程数值解法与线性规划问题求解

常微分方程数值解法与线性规划问题求解

一、非标准有限差分方法求解常微分方程

1.1 精确有限差分格式

对于形如 $\frac{du}{dt} = \alpha u(t) - \beta u^n(t), u(t_0) = u_0, n \geq 2$ 的微分方程，其精确有限差分格式的构建步骤如下：
- 分母函数 $\varphi$ 由线性项 $\alpha u(t)$ 导出：$\varphi(h, \alpha) = \frac{1 - e^{-\alpha h}}{\alpha}$。
- 非线性项 $-\beta u^n(t)$ 使用非局部近似。

最终得到的精确有限差分格式为：
$\frac{u_{k + 1} - u_k}{\frac{1 - e^{-\alpha h}}{\alpha}} = \alpha u_k - \frac{-\beta(n - 1)u_k^{n - 1}}{u_{k + 1}^{n - 1} + u_{k + 1}^{n - 2}u_k + \cdots + u_{k + 1}u_k^{n - 2} + u_k^{n - 1}}$

当 $n = 2$ 时，得到逻辑斯谛方程 $\frac{du}{dt} = \alpha u(t) - \beta u^2(t)$，其精确有限差分格式为：
$\frac{u_{k + 1} - u_k}{\frac{1 - e^{-\alpha h}}{\alpha}} = \alpha u_k - \beta u_k u_{k + 1}$
进一步化简可得：$u_{k + 1} = \frac{(1 + \varphi\alpha)u_k}{1 + \varphi