微分方程的数值解法与程序实现 pdf_数值计算方法·第三部分

第三部分内容主要是非线性的各种玩意儿，比如一个非线性的方程怎么解、一个非线性的函数曲线怎么拟合、一个积分怎么算、一个微分方程怎么求数值解：

1. 非线性方程怎么解：简单迭代法、Newton迭代法、多根区间上的单根/重根的处理
2. 非线性曲线怎么拟合：L插值、N插值、插值余项、分段低次插值、Hermite插值、样条函数、正交多项式、最小二乘法
3. 积分怎么算：代数精度、N-C求积公式、复化求积公式、G求积公式
4. 微分方程怎么求数值解：怎么表示多步法、阶、误差主项、稳定性、显式E法、隐式E法、梯形公式

---

首先一定要判断求根区间上是否有重根/好几个单根，或者某个根是不是重根！观察原来的方程

：

重根可以这样定义：

针对单根区间（自变量的取值范围里，方程只有一个根）的情况，非线性方程的解法可以参考线性方程组：既然

能变换出

这种形式，

也可以化成

，而这个方程迭代下去，最终如果取得

，那么

就是原方程的一个根了

理想的情况下

这种迭代法并不一定收敛，要求是：

也就是要求在单根区间上，

的值在

里取，

的值在

里取

不满足（1）的情况

不满足（2）的情况

附加了一个误差的结果，编程算的时候可以判断什么时候停止迭代。作为了解

需要注意，这样即使证明收敛，也是在单根区间上局部收敛，别处收不收敛还是不清楚的

不如破罐子破摔吧！直接判断是否在根

附近是不是收敛，有个巴掌大地方收敛就够了，顺便用收敛的

阶来判断下收敛速度：

常数，则称p阶收敛

还有种简单的判断方法：

，线性收敛（一阶收敛），

越接近0，收敛越快

，二阶收敛

……

（必须p阶连续可导，前p-1阶导数都是0），p阶收敛

求到哪一阶的导数，代入

后不是0了，说明哪一阶收敛

最常用的是Newton法，这个至少二阶收敛：

（ 单根区间上的牛顿法/切线法）

由于Newton法有时候求导数有点麻烦，直接用差商

代替导数往里代，或者还用直接用初始点

构造公式的，都作为了解即可：

Newton法局部收敛，初始点选不好容易发散，也可以在被减的那一项前面加个系数

，保证每一步函数值

逐步接近0，也作为了解：