7、非线性方程求解与数据插值方法

非线性方程求解与数据插值方法

在数学和计算领域，求解非线性方程以及进行数据插值是非常重要的任务。本文将介绍多种求解非线性方程的方法，包括割线法、定点迭代法等，还会介绍数据插值中的拉格朗日插值法。

1. 非线性方程求解方法

1.1 割线法

割线法与牛顿 - 拉夫逊方法形式相近，但不需要计算函数 (f(x)) 在 (x_n) 处的导数 (f’(x_n)) 的解析形式，而是用有限差分公式来近似：
[f’(x_n) \approx \frac{f(x_n) - f(x_{n - 1})}{x_n - x_{n - 1}}]
割线法的迭代公式为：
[x_{n + 1} = x_n - \frac{x_n - x_{n - 1}}{f(x_n) - f(x_{n - 1})}f(x_n)]
从包含 (f(x)) 根的区间 ([a, b]) 开始，割线法迭代逼近 ([a, b]) 内 (f(x)) 的零点。

以下是 MATLAB 实现割线法的代码：

function [x, Iterations] = Secant(f, a, b, Eps)
    x = b - ((b - a) * f(b)) / (f(b) - f(a));
    Iterations = 1;
    while fabs(f(x)) >= Eps
        a = b;
        b = x;
        x = b - ((b - a) * f(b)) / (f(b) - f(a));
        Iterations = Iteration