16、空间与态射的扩展、完备化及紧致化

空间与态射的扩展、完备化及紧致化

1 度量空间的完备化

对于度量空间$(X, d)$，其完备化与通常的度量完备化$( \overline{X}, \overline{d})$是一致的。即若$(X, d)$是度量空间，则$(\widetilde{X}, \delta_d) = ( \overline{X}, \delta_{\overline{d}})$。这是因为柯西滤子和最小柯西滤子是一致的，且$\widetilde{d}$与$\overline{d}$的定义使得它们的函数值相等，进而$\delta_d = \delta_{\overline{d}}$。

2 一致规范空间的完备化

2.1 基本定义与概念

• 完备性定义 ：一个一致规范空间若其一致反射是完备的，则称该一致规范空间是完备的。
• 柯西滤子等价性 ：在一致规范空间中，两个柯西滤子$F$和$H$等价当且仅当$F \cap H$是柯西滤子。

2.2 相关命题与定理

• 命题 1 ：设$(X, G )$是一致规范空间，$F$是$X$上的柯西滤子，则
  $B := { {y | \inf_{x\in F} d(x, y) < \alpha} | d \in G, \alpha > 0, F \in F }$
  是一个比$F$更粗的柯西滤子$M^u_F$的滤子基，且$M^u_F$是具有该性质的最粗柯西滤子，也是$F$等价类中的最粗滤子。