14、具有 D、T、L 事件的高效简约调和算法

具有 D、T、L 事件的高效简约调和算法

1. 基本定义和符号

在基因和物种进化研究中，涉及到一些重要的树结构和相关概念，以下是详细介绍：
- 树的基本概念 ：设 $T$ 是一棵树，其节点集合为 $V(T)$，边集合为 $E(T)$，且只有叶子节点有标签。$r(T)$ 表示根节点，$L(T)$ 表示叶子节点集合，$L’(T)$ 表示标记叶子的分类单元集合。约定根在树的顶部，叶子在底部。树的一条边记为 $(u, v) \in E(T)$，其中 $u$ 是 $v$ 的父节点。对于节点 $u$，$T_u$ 是以 $u$ 为根的子树，$(u_p, u)$ 是其父边，$T_{(u_p, u)}$ 是以边 $(u_p, u)$ 为根的子树。给定叶子子集 $K \subseteq L(T)$，连接 $K$ 的 $T$ 的同胚树记为 $T_K$，它是从 $T$ 诱导出的最小二叉树，且 $L(T_K) = K$。
- 带日期的树 ：若树 $T$ 关联一个日期函数 $\theta_T : V(T) \to \mathbb{R}$，使得对于任意两个节点 $x, x’ \in V(T)$，如果 $x’$ 是 $x$ 的严格后代，则 $\theta_T(x’) < \theta_T(x)$，那么 $T$ 是带日期的树。
- 内部节点与人工节点 ：$T$ 的内部节点 $u$ 有一个或两个子节点，分别用 ${u_1}$ 和 ${u_1, u_2}$ 表示其子节点集合。由于 $T$ 是无序树，$u$ 的子节点 $u_1$ 和 $u_2$ 可互换。若 $u$ 只有一个子节点，则称其为人工节点。收缩人工节点