81、机器学习中的优化与降维技术解析

机器学习中的优化与降维技术解析

1. 优化方法基础

在机器学习的优化问题中，Fisher信息矩阵起着重要作用，它总是半正定且对称的，这使得空间S的每个小区域都类似于欧几里得空间的小区域。在密度估计时，目标函数通常采用负对数似然函数：
[f(\theta) = \frac{1}{k} \sum_{i = 1}^{k} -\log(p(\theta(x_i))) \approx D_{KL}(P || p) + \text{constant}]
其中，(x_i) 是独立的训练样本，(P) 是训练样本所具有的未知分布。Hessian矩阵 (\nabla^2_{\theta}f(\theta)) 为：
[\nabla^2_{\theta}f(\theta) = - E_P \left[\frac{\partial^2 \log(p(\theta(x)))}{\partial \theta^2}\right]]
当接近最优解时，密度函数趋近于 (P) 分布，此时Fisher信息矩阵趋近于Hessian矩阵。自然梯度法和牛顿法在达到最优解时表现相似。不过，在大型学习系统中，数值计算Fisher信息矩阵是一项困难的任务，通常会考虑使用训练示例的子集来计算。

1.1 无导数优化方法

在许多优化问题中，目标函数和约束条件由“黑箱”计算，不提供导数信息，且可能包含噪声，频繁调用黑箱的成本较高。因此，无导数优化（DFO）方法应运而生，它无需近似目标函数的导数，直接对目标函数进行近似。这里主要关注针对凸目标的DFO方法和随机优化方法。

1.1.1 凸目标优化方法

如果一个函数 (f) 的空间 (S) 是凸的，对于空间