57、回归分析：从基础到R语言实现

回归分析：从基础到R语言实现

1. 简单线性回归模型参数估计

在简单线性回归中，为了获得能使误差平方和最小的 $b_0$ 和 $b_1$ 的极值，我们通过令相关式子等于零来求解。经过计算，$b_0$ 的估计值为 $\hat{b}_0 = \bar{Y} - \hat{b}_1 \bar{X}$，$b_1$ 的值由 $b_1 = \frac{Cov(X,Y)}{Var(X)}$ 给出。

2. 简单线性回归模型的验证

在将回归模型应用于实际之前，需要对其进行验证，以确保模型的有效性和拟合优度。以下是常用的验证方法：
- 决定系数 $R^2$ ：$R^2$ 也称为决定系数，它利用自变量的信息来减少预测因变量时的误差。基于两种变异之间的关系，$R^2$ 可以通过因变量基于预测值（即得到的回归线）和算术平均值的变异来计算。回归模型的第一个变异是误差平方和（SSE）。
- $R^2$ 的解释 ：$R^2$ 的值介于 0 和 1 之间。决定系数的值越大，说明模型的拟合效果越好，但要注意虚假回归的情况（即两组数据之间没有任何关系）。
- 回归系数的假设检验和 $p$ 值 ：一般来说，需要决定哪些自变量应该包含在回归模型中。为此，需要检查回归模型中该变量的系数是否为零。如果系数为零，那么将该变量添加到模型中就没有意义，因为它不会对因变量产生任何影响。相应的原假设和备择假设为：
- $H_0: \beta = 0$
- $H_1: \beta \neq 0$
接受原假设 $H_0$ 表示自变量不会影响因变量。为了检验系数的显