8、矩阵分解算法：DFT 与 CP 分解的创新与应用

矩阵分解算法：DFT 与 CP 分解的创新与应用

在信号处理和矩阵计算领域，矩阵分解是一项至关重要的技术，它在众多实际应用中发挥着关键作用。本文将深入探讨两种重要的矩阵分解算法：基于离散傅里叶变换（DFT）的多项式特征值分解（EVD）和奇异值分解（SVD），以及半非负半对称三阶张量的典范多线性分解（CP 分解）。

基于 DFT 的多项式 EVD 和 SVD 算法

基于 DFT 公式的多项式 EVD 和 SVD 算法具有显著优势，它能够对分解的性质进行有效控制。

1. 分解性质的控制

   • 谱优化与频率平滑 ：通过合理设置分解方式，可实现谱优化和频率平滑。然而，当奇异值（特征值）在某些频率处相交时，同时实现谱优化和光滑分解是不可行的。在这种情况下，若要实现谱优化，需要更高阶的多项式分解，这将显著增加计算复杂度。
   • 紧凑分解的实现 ：利用奇异向量（特征向量）的最高阶多项式系数作为平方误差，基于频率样本的相位对齐可获得紧凑分解。该算法具有一定灵活性，既能计算近似正奇异值的分解，也能实现具有复奇异值的更宽松分解。

2. 非线性二次问题的求解

   • 牛顿法的应用 ：针对非线性二次问题，采用牛顿法进行求解。通过应用近似海森矩阵辅助牛顿优化，实现了快速收敛。
   • 应用优势 ：该算法