7、三维等参元的理论与实现

三维等参元的理论与实现

1. 三维等参元概述

三维等参元在工程分析中具有重要作用，它允许几何形状和位移场以参数形式表示，并使用相同的函数进行插值。常见的三维等参元有八节点线性六面体元和二十节点二次六面体元。

1.1 形状函数

形状函数用于插值位移和坐标。对于八节点线性六面体元，其形状函数为：
[
N_i = \frac{1}{8}(1 + \xi_0)(1 + \eta_0)(1 + \zeta_0)
]
其中，(\xi_0 = \xi\xi_i)，(\eta_0 = \eta\eta_i)，(\zeta_0 = \zeta\zeta_i)。

二十节点二次六面体元的形状函数在顶点和边中点的表达式不同：
- 顶点处：(N_i = \frac{1}{8}(1 + \xi_0)(1 + \eta_0)(1 + \zeta_0)(\xi_0 + \eta_0 + \zeta_0 - 2))
- 特定边中点（如 (i = 2, 6, 14, 18)）：(N_i = \frac{1}{4}(1 - \xi^2)(1 + \eta_0)(1 + \zeta_0))
- 其他边中点的表达式依此类推。

若二次六面体元发生退化，部分形状函数需要修改。例如，当出现特定退化情况时，某些节点的形状函数变为：
[
N’_i = N_i + \Delta, \quad i = 3,5,15,17
]
[
N’_i = N_i - 2\Delta, \quad i = 4,16
]
其中，(\Delta = \frac{1}{16