74、多切割重排排序与图索引在字符串匹配中的复杂性分析

多切割重排排序与图索引在字符串匹配中的复杂性分析

1. 多切割重排排序问题

多切割重排排序（Sorting by Multi - cut Rearrangements）是对不包含反转操作的常见基因组重排问题的一种推广。下面我们来详细分析其相关性质。

1.1 判定问题的复杂性

• 对于奇数 $k \geq 5$，判定一个 $k$ - 循环对 $(S, T)$ 是否能 $k$ - 高效排序是 NP - 难问题。对于偶数 $k \geq 6$，判定一个对 $(S, T)$ 是否能 $k$ - 高效排序同样是 NP - 难问题。证明采用归纳法，已知判定一个 3 - 循环对 $(S, T)$ 是否能高效排序是 NP - 难问题。对于 $k \geq 5$，若 $k$ 为奇数则取 $p = 2$，否则取 $p = 3$，通过相关引理和命题可得到多项式归约，从而证明其复杂性。
• 定理 7 是引理 6 的推论，因为一个 $k$ - 循环对 $(S, T)$ 能 $k$ - 高效排序当且仅当 $S$ 能通过不超过 $\frac{d_{b}(S,T)}{k}$ 次 $k$ - 切割重排转换为 $T$。

1.2 优化问题的近似性

Opt - SMCR 是 SMCR 的优化版本，目标是找到通过 $k$ - 切割重排从 $S$ 得到 $T$ 所需的最小 $\ell$。定理 8 表明 Opt - SMCR 在排列问题中是 2 - 可近似的。具体算法步骤如下：
设 $I=(S, T, k)$ 是 Opt - SMCR 的一个实例。
1. 首先将 $S$ 和 $T$ 重写为 $S’$ 和 $T’$，使得 $T’ = id_{n}$。
2. 令 $k’=\lfloor\frac{k}{2}\rfloor$，从 $S’$ 开始迭代以下三个步骤：
- (a) 通过收缩邻接关系重写 $S’$，得到一个没有不动点的排列。
- (b) 当 $k$ 为偶数时，在排列的前 $k’$ 个元素 $1, 2, 3, \cdots, k’$ 前后进行切割；当 $k$ 为奇数时，除了在上述位置切割，还要在 $k’ + 1$ 的左侧进行切割。
- (c) 当 $k$ 为偶数时，重排排列使得前 $k’$ 个元素为 $id_{k’}$ ，后面接着排列的其余部分；当 $k$ 为奇数时，重排使得 $k’$ 和 $k’ + 1$ 连续。

该算法每次迭代至少移除 $k’$（$k$ 为偶数时）或 $k’ + 1$（$k$ 为奇数时）个断点，因此所需的 $k$ - 切割重排次数 $\ell’$ 满足 $\ell’ \leq \frac{\ell k}{k’}$（$k$ 为偶数）或 $\ell’ \leq \frac{\ell k}{k’ + 1}$（$k$ 为奇数），由于 $k’=\lfloor\frac{k}{2}\rfloor$，所以 $\ell’ \leq 2\ell$。

2. 图索引在字符串匹配中的复杂性

字符串匹配问题在节点带标签的图 $G=(V, E)$ 上的定义为：询问给定的模式字符串 $P$ 是否在图 $G$ 中以路径的形式出现，该路径上节点标签的连接等于 $P$。这在生物信息学、图数据库或网络等领域是一个基本问题。

2.1 背景与已有结果

• 该问题在比较模型下可以在 $O(|V| + |E||P|)$ 时间内解决，在无环图上使用位并行技术可将时间优化到 $O(|V| + |E|\lceil\frac{|P|}{w}\rceil)$（在字长 $w = \Theta(\log |E|)$ 的 RAM 模型中）。然而，在正交向量假设（Orthogonal Vectors Hypothesis，OVH）下，该问题存在 $O(|E||P|)$ 的时间下界。
• 不同类型图的索引和查询时间情况如下表所示：
  | 图类型 | 索引时间 | 查询时间 | 参考 |
  | ---- | ---- | ---- | ---- |
  | 路径 | $O(|E|)$ | $O(|P|)$ | 经典结果 [18] |
  | 树 | $O(|E|)$ | $O(|P|)$ | [23], 2009 |
  | Wheeler 图 | $O(|E|)$ | $O(|P|)$ | [24, 42], 2014 |
  | 无重复段的创始块图 | $O(W|E|)$ | $O(|P|)$ | [35], 2020 |
  | DAG | $O(|E|^{\alpha}), \alpha < 2$ | $f(|P|)$（在 SIC 下不可能） | [12], 2013 |
  | 任意图 | $O(|E|)$ | $O(|P| + |E|^{\delta}|P|^{\beta}), \delta + \beta < 2$（在 OVH 下不可能） | [10], 2016 |
  | 确定性 DAG | $O(|E|)$ | $O(|P| + |E|^{\delta}|P|^{\beta}), \delta + \beta < 2$（在 OVH 下不可能） | [19], 2019 |
  | 弹性退化字符串 | $O(N^{\alpha})$ | $O(n^{\delta}|P|^{\beta}), \delta < 1$ 或 $\beta < 1$（在 OVH 下不可能） | [26], 2020 |
  | 确定性 DAG | $O(|E|^{\alpha})$ | $O(|P| + |E|^{\delta}|P|^{\beta}), \delta + \beta < 2$（在 OVH 下不可能） | 定理 2 |
  | 任意图 | $O(|E|^{\alpha})$ | $O(|P| + |E|^{\delta}|P|^{\beta}), \delta < 1$ 或 $\beta < 1$（在 OVH 下不可能） | 定理 3 |

2.2 主要结果

• 线性独立组件归约（lic 归约） ：引入了线性独立组件归约的概念，若问题 $A$ 难以索引，且存在从 $A$ 到 $B$ 的 lic 归约，则问题 $B$ 也难以索引。
• 编辑距离问题 ：对于任意 $\alpha, \beta, \delta > 0$ 且 $\beta + \delta < 2$，不存在在时间 $O(|T|^{\alpha})$ 内预处理字符串 $T$ 的算法，使得对于任意模式字符串 $P$，能在时间 $O(|P| + |T|^{\delta}|P|^{\beta})$ 内找到 $T$ 中与 $P$ 具有最小编辑距离的子字符串，除非 OVH 不成立。当 $\delta = 1$ 和 $\beta = 1$ 时，该下界是紧的，因为存在匹配的在线算法。
• SMLG 问题 ：对于任意 $\alpha, \beta, \delta > 0$ 且 $\beta + \delta < 2$，不存在在时间 $O(|E|^{\alpha})$ 内预处理带标签图 $G=(V, E, \ell)$ 的算法，使得对于任意模式字符串 $P$，能在时间 $O(|P| + |E|^{\delta}|P|^{\beta})$ 内解决图 $G$ 和模式 $P$ 的 SMLG 问题，除非 OVH 不成立。该结果甚至在限制为二进制字母表和每个节点的入度和出度之和最多为 3 的确定性 DAG 时也成立。当 $\delta = 1$ 和 $\beta = 1$ 时，该下界是紧的。

下面用 mermaid 流程图展示 Opt - SMCR 算法的主要流程：

graph TD;
    A[输入 I=(S, T, k)] --> B[重写 S 和 T 为 S' 和 T'，使 T' = id_n];
    B --> C[令 k' = floor(k/2)];
    C --> D[从 S' 开始迭代];
    D --> E[收缩邻接关系重写 S' 得无不动点排列];
    E --> F{k 为偶数?};
    F -- 是 --> G[在排列前 k' 个元素前后切割];
    F -- 否 --> H[在排列前 k' 个元素前后及 k'+1 左侧切割];
    G --> I[重排排列使前 k' 个元素为 id_k' 并接其余部分];
    H --> J[重排排列使 k' 和 k'+1 连续];
    I --> D;
    J --> D;

综上所述，多切割重排排序问题在判定和优化方面具有特定的复杂性和近似性，而图索引在字符串匹配问题中受到 OVH 等假设的限制，在很多情况下难以实现高效的索引和查询。未来还可以研究一些开放问题，如 SMCR 在字符串中关于参数 $\ell + k$ 的 FPT 状态，以及在排列中对于常数 $\ell$ 和作为输入一部分的 $k$ 的计算复杂性等。

3. 问题分析与展望

3.1 多切割重排排序问题分析

多切割重排排序问题的判定复杂性和优化近似性为我们理解基因组重排提供了重要的理论基础。在判定问题中，对于不同奇偶性的 $k$ 值，问题的 NP - 难性质表明在实际应用中，要准确判断一个 $k$ - 循环对是否能 $k$ - 高效排序是非常困难的。这意味着在处理大规模基因组数据时，不能期望找到一个多项式时间的算法来解决这个问题。

在优化问题中，Opt - SMCR 的 2 - 可近似性为我们提供了一种折中的解决方案。虽然不能找到最优解，但可以在多项式时间内得到一个接近最优解的结果。具体的算法步骤通过对排列进行收缩、切割和重排操作，逐步减少断点数量，最终实现对排列的排序。这种算法的设计思路对于解决其他类似的组合优化问题也具有一定的参考价值。

3.2 图索引在字符串匹配问题分析

图索引在字符串匹配问题中的复杂性受到正交向量假设（OVH）的限制。从已有的结果来看，不同类型的图在索引和查询时间上存在很大的差异。例如，路径、树和 Wheeler 图可以在线性时间内完成索引和查询，而对于一般的图和确定性 DAG，在 OVH 下很难实现高效的索引和查询。

线性独立组件归约（lic 归约）的引入为证明问题的索引难度提供了一种有效的方法。通过将已知难以索引的问题（如 OV 问题）归约到目标问题（如 SMLG 问题和编辑距离问题），可以得出目标问题也难以索引的结论。这种归约方法在复杂性理论中具有重要的应用价值。

3.3 未来研究方向

虽然我们已经对多切割重排排序和图索引在字符串匹配问题有了一定的了解，但仍有许多开放问题值得进一步研究。以下是一些未来可能的研究方向：
1. SMCR 问题的 FPT 状态 ：研究 SMCR 在字符串中关于参数 $\ell + k$ 的 FPT 状态。如果能够证明该问题在某些参数下是固定参数可解的，那么可以在实际应用中针对这些参数进行优化，提高算法的效率。
2. 排列中常数 $\ell$ 和 $k$ 的计算复杂性 ：探讨在排列中对于常数 $\ell$ 和作为输入一部分的 $k$ 的计算复杂性。这有助于我们更深入地理解问题的本质，找到更有效的算法。
3. 扩展和变体问题 ：研究 SMCR 的扩展或变体问题，例如允许反转操作的情况，或者 $T$ 是由 $S$ 派生的字典序排序字符串的情况。这些变体问题可能在实际应用中具有更广泛的应用场景。
4. $\ell$ 和 $k$ 在 SMCR 中的作用 ：更好地理解 $\ell$ 和 $k$ 在 SMCR 中的比较作用。例如，研究当 $k$ 增加一个常数 $c$ 时，对最优距离的影响。这有助于我们优化算法的参数选择，提高算法的性能。

4. 总结

本文主要探讨了多切割重排排序问题和图索引在字符串匹配问题的复杂性。在多切割重排排序问题中，我们分析了判定问题的 NP - 难性质和优化问题的 2 - 可近似性，并给出了具体的算法步骤。在图索引在字符串匹配问题中，我们介绍了不同类型图的索引和查询时间情况，引入了线性独立组件归约的概念，并证明了 SMLG 问题和编辑距离问题在 OVH 下难以实现高效的索引和查询。

通过对这些问题的研究，我们可以更好地理解基因组重排和图上字符串匹配的本质，为实际应用提供理论支持。未来的研究可以进一步拓展这些问题的研究范围，寻找更有效的算法和解决方案。

下面用表格总结本文涉及的主要问题和结果：
| 问题类型 | 具体问题 | 主要结果 |
| ---- | ---- | ---- |
| 多切割重排排序 | 判定问题 | 奇数 $k \geq 5$ 和偶数 $k \geq 6$ 时，判定 $k$ - 高效排序是 NP - 难问题 |
| 多切割重排排序 | 优化问题 | Opt - SMCR 是 2 - 可近似的，给出具体算法步骤 |
| 图索引在字符串匹配 | SMLG 问题 | 在 OVH 下，难以在多项式时间内索引图以支持子二次时间查询 |
| 图索引在字符串匹配 | 编辑距离问题 | 在 OVH 下，难以在多项式时间内预处理字符串以支持子二次时间查询 |

再用 mermaid 流程图展示未来研究方向的逻辑关系：

graph LR;
    A[多切割重排排序问题] --> B[研究 SMCR 在字符串中关于参数 \(\ell + k\) 的 FPT 状态];
    A --> C[探讨排列中常数 \(\ell\) 和 \(k\) 的计算复杂性];
    A --> D[研究 SMCR 的扩展或变体问题];
    A --> E[理解 \(\ell\) 和 \(k\) 在 SMCR 中的作用];
    B --> F[寻找更有效的算法和解决方案];
    C --> F;
    D --> F;
    E --> F;

总之，多切割重排排序和图索引在字符串匹配问题是具有重要理论和实际意义的研究领域，未来的研究有望取得更多的突破和进展。